空間座標乘旋轉矩陣三維空間中的旋轉變換與旋轉矩陣

在三維空間中，繞著x軸，y軸，z軸的旋轉可以使用4*4的矩陣表示,而根據左右手座標系的不同，又可分為左手座標系下的三維旋轉矩陣和右手座標系下的三維旋轉矩陣。

1 左手座標系下的旋轉矩陣

設旋轉角為θ角，而θ角表示從軸的正方嚮往座標軸的反方向觀察，順時針旋轉的角度(在左手座標系下，順時針旋轉為旋轉的正方向)。

1.1 繞x軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣

r_x(\theta)=\begin1&0&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta&0\\0&\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&0&1\end

1.2 繞y軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣

r_x(\theta)=\begin\cos\theta&0&\sin\theta&0\\0&1&0&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta&0\\0&0&0&1\end

1.3 繞z軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣

r_x(\theta)=\begin\cos\theta&-\sin\theta&0&0\\\sin\theta&\cos\theta&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end

2 右手座標系下的旋轉矩陣

設旋轉角為θ角,θ角表示從軸的正方嚮往座標軸的反方向觀察，逆時針旋轉的角度(在右手座標系下，逆時針旋轉為旋轉的正方向)。因為左右手座標系的不同，導致在兩個座標系中旋轉的正方向相反，白話文就是在左手座標系中旋轉了θ角，就相當於在右手座標系中旋轉了-θ角。

所以在第1節以在左手座標系中順時針旋轉為正方向的情況下，順時針旋轉θ角為正方向，那麼在右手座標系中逆時針旋轉θ角需要將第1節中左手座標系的旋轉矩陣中的角度改為-θ角。

那麼將上述繞x,y，z軸的旋轉中的θ角全部改為−θ角，則：

2.1 繞x軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣

以第一節中繞x軸的旋轉矩陣為基礎，將θ修改為-θ，則：

r_x(\theta)=\begin1&0&0&0\\0&\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)&0\\0&\sin(-\theta)&\cos(-\theta)&0\\0&0&0&1\end

則根據三角函式計算公式可推導出：

r_x(\theta)=\begin1&0&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta&0\\0&-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&0&1\end

2.2 繞y軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣

以第一節中繞y軸的旋轉矩陣為基礎，將θ修改為-θ，則：

r_x(\theta)=\begin\cos(-\theta)&0&\sin(-\theta)&0\\0&1&0&0\\-\sin(-\theta)&0&\cos(-\theta)&0\\0&0&0&1\end

則根據三角函式計算公式可推導出：

r_x(\theta)=\begin\cos\theta&0&-\sin\theta&0\\0&1&0&0\\\sin\theta&0&\cos\theta&0\\0&0&0&1\end

2.3 繞z軸順時針旋轉θ角的旋轉矩陣

以第一節中繞z軸的旋轉矩陣為基礎，將θ修改為-θ，則：

r_x(\theta)=\begin\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)&0&0\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end

則根據三角函式計算公式可推導出：

r_x(\theta)=\begin\cos\theta&\sin\theta&0&0\\-\sin\theta&\cos\theta&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end

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