0. 引言
(1) 單值函式 (通常的函式), 多值函式 (如 $\sqrt[n]$, $\arg z$).
(2) 單葉函式: $$\bex f\mboxd \mbox z_1\neq z_2\ra f(z_1)\neq f(z_2). \eex$$ 而也稱 $d$ 為 $f$ 的單葉性區域.
例: $w=z^2$ 在 $\bbc$ 上不是單葉的, 但在 $\im z>0$ 上是單葉的.
1. 根式函式
(1) 定義: $$\bex z=re^\ra w=\sqrt[n]=\sqrt[n]e^} \cdot e^}\quad(k=0,1,2,\cdots,n-1). \eex$$
(2) 怎麼使 $w=\sqrt[n]$ 是單值函式呢?
a. $z=re^$, 把 $\tt$ 範圍定下來 (使其不相差 $2\pi$ 的整數倍). 比如沿負實軸割開 $z$ 平面, 則 $$\bex -\pi<\arg z\leq \pi (\mbox),\mbox -\pi\leq \tt<\pi; \eex$$ 按照上下左右岸來定 $=$.
b. 把 $k$ 定下來, 稱為 $\sqrt[n]$ 的第 $k$ 個單值解析分支.
(3) 例: 設 $w=\sqrt[3]$ 確定在從原點 $z=0$ 起沿著負實軸割破了的 $z$ 平面上, 並且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.
解:a. 沿負實軸割破 $z$ 平面 $\ra -\pi <\arg z\leq \pi$.
b. $$\bex -i=w(i)=\sqrt[3]=\sqrt[3]}} =e^} \cdot e^}\ra k=2. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]e^}\cdot e^}\quad(z=re^),\\ w(-i)&=w(e^})=e^}+\frac}} =e^}. \eea \eeex$$
(4) 例: 設 $w=\sqrt[3]$ 確定在從原點 $z=0$ 起沿著負實軸割破了的 $z$ 平面上, 並且 $w(-1)=-1$, 這裡 $-1$ 是邊界上岸的點. 求 $w(-i)$.
解:a. 沿負實軸割破 $z$ 平面 $\ra -\pi <\arg z\leq \pi$.
b. $$\bex -i=w(-1)=w(e^) =e^}\cdot e^}\ra k=1. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]e^}\cdot e^}\quad(z=re^),\\ w(-i)&=w(e^}) =e^}+\frac}} =e^}=i. \eea \eeex$$
(5) 例: 設 $w=\sqrt[3]$ 確定在從原點 $z=0$ 起沿著正實軸割破了的 $z$ 平面上, 並且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.
解:a. 沿正實軸割破 $z$ 平面 $\ra 0<\arg z\leq 2\pi$ 或 $0\leq \arg z<2\pi$.
b. $$\bex -i=w(i)=\sqrt[3]=\sqrt[3]}} =e^} \cdot e^}\ra k=2. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\sqrt[3]e^}\cdot e^}\quad(z=re^),\\ w(-i)&=w(e^}) =e^}\cdot e^} =e^}. \eea \eeex$$
2. 對數函式
(1) 定義: 把 $e^w=z$ 的反函式稱為對數函式 $w=\ln z$.
(2) 設 $z=re^$, $w=u+iv$, 則 $$\beex \bea &\quad e^u\cdot e^=re^\\ &\ra e^u=r,\quad v=\tt+2k\pi\\ &\ra w=\ln r+i(\tt+2k\pi). \eea \eeex$$
(3) 怎麼使 $w=\ln z$ 為單值函式呢?
a. 把 $\tt$ 的範圍定下 (割破 $z$ 平面). 同 $\sqrt[n]$ 的討論.
b. 把 $k$ 定住, 稱為 $\ln z$ 的第 $k$ 個單值解析分支.
(4) 例: 設 $w=\ln z$ 確定在從原點 $z=0$ 起沿著負實軸割破了的 $z$ 平面上, 並且 $w(i)=\cfrac$. 求 $w(-i)$.
解:a. $-\pi<\arg z<\pi$.
b. $$\bex \frac=w(i)=w(e^}) =i\***+2k\pi}\ra k=1. \eex$$
c. $$\beex \bea w(z)&=\ln r+i(\tt+2\pi)\quad(z=re^),\\ w(-i)&=w(e^}) =i\***+2\pi} =\frac. \eea \eeex$$
3. 冪函式、一般指數函式: $$\bex w=z^\alpha=e^,\quad w=a^z=e^. \eex$$
作業: p 92 t 22, t 23.
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