author: benjamin142857cauchy riemann equation - 柯西黎曼方程，對於 \(f(z) = u + iv\)date: 2018/10/1
目錄2. 常見形式的復變函式積分
3. 調和函式與偏微分法
\[\frac = \frac \\ \frac = -\frac
\]cauchy goursat theorem - 柯西古薩定理，對於 \(f(z)\) 在d內解析
\[\oint_cf(z)dz=0
\]\(c : |z-z_0|=r\)
\[\oint_\frac} = \begin 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end
\]\(c\) 含 \(n\) 個奇點，每個奇點可以畫個 \(c_k\) 小圓，\(k=1,2,...,n\)
\[\oint_cf(z)dz = \sum_^n\oint_f(z)dz
\]\(f(z)\) 在 \(z_0\) 連續
\[\oint_c\fracdz = 2\pi if(z_0)
\]\[f^(z_0) = \frac\oint\frac}dz
\]拉普拉斯方程，對於函式 \(\phi(x, y)\)
\[\frac +\frac=0
\]一般題目所給出的積分路徑 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析區域內或 \(f(z)\) 全平面解析，根據c-g定理，積分與路徑無關，轉為x,y重積分
例 ：求 \(\int_\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\)
\[\int_c \overline z dz \\= \int_^x-iydz + \int_^x-iydz \\= \int_0^2xdx + \int_0^8(2-iy)idy\\=34+8i
\]路徑未必在解析區域內的萬能做法，但計算複雜
例 ：求 \(\int_\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\)
\(x = t\)，\(y = t^3\)，\(t\in (0,2)\)
\(z = t+it^3\)
\(f(z) = t-it^3\)
\(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\)
若在解析區域，c-g定理
\[\oint_c f(z)dz = 0
\][圈圈公式]
例 ：求 \(\oint_\frac dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[\oint_\frac dz = 2\pi i
\][復合閉路定理+圈圈公式+cauchy積分公式]
例 ：求 \(\oint_\frac dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[\oint_\frac dz\\=\oint_\frac}dz + \oint_\frac}dz \\= \oint_\frac}dz + \oint_\frac}dz \\= 0
\][ 圈圈公式 + cauchy積分公式 ]
例 ：求 \(\oint_\frac dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[\oint_\frac dz \\= \oint_\fracdz \\= 2\pi i
\][復合閉路定理+圈圈公式+cauchy積分公式]
例 ：求 \(\oint_\frac dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[\oint_\frac dz \\= \oint_\frac}dz + \oint_\frac}dz \\= \oint_\frac}dz + \oint_\frac}dz \\= 2\pi i
\][高階導數公式+圈圈公式+cauchy積分公式]
例 ：求 \(\oint_\frac dz,\ \ \ c : |z|=2\)
\[\oint_\frac dz \\= \frac[z^|_]\\=0
\][高階導數公式+圈圈公式+復合閉路定理+cauchy積分公式]
例 ：求 \(\oint_\frac dz,\ \ \ c : |z|=3\)
\[\oint_\frac dz \\=\oint_\frac}dz + \oint_\frac}dz\\=\frac[(\frac)^|_] + \frac[(\frac)^|_]\\=不想算
\]調和函式 \(\phi(x, y)\)
[c-r方程]\(\downarrow\)
區域內的解析函式 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 實部與虛部均為調和函式
區域內的解析函式的虛部為實部的共軛調和函式
偏微分法
通過 \(u\)
\(\rightarrow\)
\(v\)
\(\rightarrow\)
\(u+iv\) 或 通過 \(v\)
\(\rightarrow\)
\(u\)
\(\rightarrow\)
\(u + iv\)
復變函式的積分
基本和普通函式的積分類似，把複數符號 i 當成乙個普通的係數，運算過程幾乎是一模一樣的。先宣告 c表示乙個圓周 z z0 r，那麼有 c 1 z z0 n dz 2 i,n 10 n 1 這個定理很有用，於是計算一些積分的時候看到類似 1 z z0 3dz 之類的形式直接可以知道答案是 0 z z1...
復變函式視覺化 復積分
復變函式的積分 z0 z1f z dz f z z int f z dz sum f delta z delta z z0 z1 f z dz f z z每一小段的復數值 乙個向量 乘以中間的某個值 積分法則 仿真實變函式積分 常數可以提出來 積分可以分段積分留數 用積分計算泰勒展開的係數 積分與路...
復變函式與積分變換
先列個大綱 1.1複數 1.1.1複數的概念 純虛數實數是複數的子集 兩個複數之間一般不能比較大小 共軛複數 實數的共軛複數是它本身 1.1.2複數的四則運算 尤其後面幾個，證明啥可能用 1.1.3復數的幾何表示 復平面與複數的表示法 輻角主值範圍 pi x p i pi p i x p i當z 0...