一、 判斷題 ($5\times 3'=15'$)
1. 函式若在某點可導一定在該點解析.
解答: 錯. 比如函式 $$\bex f(x)=\left\ e^},&x\neq 0,\\ 0,&x=0. \ea\right. \eex$$
2. 若函式 $f(z)$ 在區域 $d$ 內解析, 則 $f(z)$ 在區域 $d$ 內沿任意一條閉曲線 $c$ 的積分為 $0$. 解答: 錯. $d$ 須為單連通區域. 否則只有 cauchy 積分公式 $$\bex f(z)=\frac\oint_c\frac\rd \zeta,\quad z\in d. \eex$$
3. 函式在一點解析的充要條件是它在該點的鄰域內可展開成冪級數.
解答: 對. 函式 $f(z)$ 在 $z_0$ 處解析是指它在 $z_0$ 的某個鄰域內解析.
4. $z=0$ 是 $\dps}$ 的一階極點.
解答: 錯. 由 $\dps\frac=1}$ 知 $z=0$ 為函式的可去奇點.
5. 不同的函式經 laplace 變換後的像函式可能相同.
解答: 對. 由 $$\bex \mathcal[f](s)=\int_0^\infty f(t)e^\rd t \eex$$ 即知 $\mathcal[f]$ 僅與 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上的值有關.
二、 填空題 ($5\times 3'=15'$)
1. $\dpsi}i}}^3= .}$
解答: $$\bex \***i}i}}^3 =\***i}}^3 =\***i}}^3 =1. \eex$$
註記: $\dpsi}}$ 是三次單位根.
2. $\dps^\infty\frac}$ 的收斂半徑為 $ .$
解答: 由 $\dps^\infty\frac=e^z}$ 即知原級數的收斂半徑為 $+\infty$.
3. 函式 $\dps}$ 的解析區域為 $ .$
解答: 由 $\dpsi}$ 即知函式的解析區域為 $$\bex \bbc-\sedi}. \eex$$
4. $e^\frac$ 的孤立奇點的型別為 $ $ (可去奇點、極點、本性奇點).
解答: 由 $$\bex e^\frac=\sum_^\infty\frac\quad(0<|z|<\infty) \eex$$ 知 $z=0$ 為函式的.
5. 設 $c$ 為正向圓周 $|z|=1$, 則 $\dps\rd z= }.$
解答: 由 cauchy 積分公式知 $$\bex \oint_c\frac\rd z=0. \eex$$
三、 計算題 ($6'+9'+10'+8'+12'+10'+15'=70'$)
1. 分別給出 $z=-3+4i$ 的三角形式和指數形式.
解答: $$\bex z=-3+4i=5(\cos \varphi+i\sin\varphi)=5e^, \eex$$ 其中 $\dps}}$.
2. 判斷下列函式在何處可導、何處解析? $$\bex (1) f(z)=x^2+iy^2;\quad (2) f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3). \eex$$
解答: (1) 由 cauchy-riemann 方程知函式不解析, 而也不可導. (2) 設 $u=x^3-3xy^2$, $v=3x^2y-y^3$, 則由 $$\bex u_x=3x^2-3y^2=v_y,\quad u_y=-6xy=-v_x \eex$$ 及 cauchy-riemann 方程知函式解析且可導.
3. 設 $c$ 為正向圓周 $|z|=3$, 計算積分 $\dps\rd z}$.
解答: $$\beex \bea i&=\oint_c \frac\rd z\\ &=\oint_c\frace^z}\rd z +\oint_c \fracz+1}e^z}\rd z\\ &=\frac+\frac\sezz+1}e^z}'_\\ &=\frac+\frac\\ &=\frac. \eea \eeex$$
4. 分別在圓環 $(1) 0<|z|<1;\ (2) 0<|z-1|<1$ 內將函式 $\dps}$ 展開成 laurent 展式.
解答: (1) 在 $0<|z|<1$ 內, $$\bex f(z)=\frac\sum_^\infty z^n=\sum_^\infty z^n; \eex$$ (2) 在 $0<|z-1|<1$ 內, $$\bex f(z)=\frac=\frac\sum_^\infty (1-z)^n =\sum_^\infty (1-z)^n. \eex$$
5. 求下列各函式在孤立奇點處的留數. (1) $\dps}$; (2) $\dps}$ 在 $z=2$ 處的留數; (3) $\dps}$.
解答: (1) $z=0$ 為函式的可取奇點, 而 $$\bex \res_\frac=0. \eex$$ (2) $z=2$ 為函式的一階極點, 而 $$\bex \res_\frac =\frac=\frac. \eex$$ (3) $z=1$ 為函式的本性奇點, 而由 $$\bex \sin\frac=1+\frac+\cdots,\quad z\neq 1 \eex$$ 知 $$\bex \res_\sin\frac=0. \eex$$
6. 求函式 $\dps 1,&-1
解答: $$\beex \bea \scrf[f](s) &=\int_ f(t)e^\rd t\\ &=\int_^0 1\cdot e^\rd t +\int_0^1 (-1)\cdot e^\rd t\\ &=\int_^0 [\cos (st)-i\sin (st)]\rd t -\int_0^1 [\cos (st)-i\sin (st)]\rd t\\ &=\int_0^1 [\cos(st)+i\sin (st)]\rd t -\int_0^1 [\cos (st)-i\sin(st)]\rd t\\ &=2i\int_0^1 \sin(st)\rd t\\ &=\frac. \eea \eeex$$
7. 求解微分方程 $x'(t)+x(t)=\sin t, x(0)=-1$.
解答: 兩邊施行 laplace 變換有 $$\bex sx(s)-(-1)+x(s)=\frac, \eex$$ 而 $$\bex x(s)=-\frac =-\frac -\frac\frac. \eex$$ 再施行 laplace 逆變換有 $$\bex x(t)=-\frac(\cos t-\sin t )-\frace^. \eex$$
分享一套 python 試題
賴勇浩 今天在 is better.com 看到一篇 python 面試題集合 同時附在了此文下方 裡面有一些很好的試題，如 python是如何進行型別轉換的？也有一些讓人 的試題，如 python如何實現單例模式？其他23種設計模式python如何實現？在引我思考的同時，也讓我產生把自己之前招聘所...
一套PHP 面試題
來自 cnmm22 1 語句include和require都能把另外乙個檔案包含到當前檔案中，它們的區別是 為避免多此包含同乙個檔案，可以用語句 來代替它們。1 php程式執行到require 時，只會讀取一次檔案，故常放在程式開頭，檔案引入後php會將網頁檔重新編譯，讓引入檔成為原先網頁的一部分。...
JavaSE筆試題一套帶答案 6
附加題 選作 3 編寫乙個加密類ecryption，在其中實現對字串的加密和解密方法。加密原理是 加密後的字串的第乙個字元是原字串的最後乙個字元，其餘的每個字元是對應的原字串中的前乙個字元的值加上3。比如 welcome 末尾的字元為 e welcom 依次加上3後成為 zhofrp 故加密後的結果...