結束了漫長在家的一學期，由於網課緣故再加線上考試，很多知識並不牢固，藉此假期閒餘，整理上學期筆記，對復變函式與積分變換（工科）筆記進行整理複習，有需求的朋友可以學習借鑑。廢話不多說，下面開始第一節複數與復變函式（復變函式基礎知識）。（因編者能力有限，若有錯誤請諒解並指出）
本章思維導圖：
1、複數及其代數運算
1) 虛數單位 i :
2)對於任意二實數 x,y
實部：虛部：
3)與實數相同，虛數的運算也滿**換律、結合律、分配率。（特別的，虛數不能比較大小）
4）共軛複數：
與 為共軛複數（比較有意思的性質：
， ,
）2、復數的幾何表示
復平面：
由一對有序實數
唯一確定，複數與該平面上的點一一對應，所以
可以用座標
表示，該點所在平面被稱作復平面，x軸為實軸，y為虛軸，如圖：（下介紹兩概念模與輻角）
1）模：
2)輻角與輻角的主值：
(任何乙個複數有無窮個輻角，當
時,輻角的主值記作：
)求法：
此外，複數的加減運算法則和向量的加減法運算法則一致。
附：複數的三角表示和指數表示：
三角表示：由
得 指數表示：由尤拉公式：
得 兩點間距離=
3、複數乘冪與方根
1）乘積與商
定理一 兩複數乘積的模=模的乘積
兩複數乘積的輻角=輻角的和
指數形式：
定理二 兩複數商的模=模的商
兩複數商的輻角=輻角的和差
指數形式：
（可輕鬆用向量的方法證明）
2)複數的方根 由複數三角表示式易知：
乘方：
(n為整數時成立)
方根：
(n為正整數時成立，k取0至n-1，所以n次方根就有n個解)
（以下內容與高等數學（微積分）內容高度重複，故筆記比較簡略，詳細請參考其他高等數學筆記）
4、區域
區域就是乙個連通的開集。記作d. 區域d+它的邊界=閉（區）域，記作
2）單連通區域與多連通區域（對區域的分類）
判斷曲線：簡單（不相交）不簡單（相交） 閉合 （首尾相連） 不閉合（首尾不相連）
對於乙個區域d，內部任做一簡單閉曲線，曲線內部總屬於b，該區域為單連通域，否則為多連通域。
例：下圖左為單連通域，右為多連通域。
5、復變函式
(相當於兩個二元實變函式)
對映會在後面章節總結，敬請期待......
6、極限與連續性
1）極限
定理一
(充要條件)
定理二
,則有(1)
(2)(3)
2)連續性
f(z)在d內連續即
定理三 只要u（x,y）,v(x,y)兩個連續，其復變函式連續，反之也成立。（充要條件）
定理四 兩復變函式在
連續，其和，差，積，商（分母不為0）仍連續。
兩復變函式在
連續，其復合函式仍連續。
由上知多項式函式（
）與有理分式函式（
(其中分子分母都是多項式)）都是連續的。
第一更撒花完結（因編者能力有限，若有錯誤請諒解並指出）
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