1. 正交子空間
兩個向量垂直，意味著 vtw
=0v^tw=0
vtw=0。
兩個子空間 v想象你處在乙個房間裡，那麼地面是乙個子空間 v\boldsymbol v
v 和 w
\boldsymbol w
w 是正交的，如果v
\boldsymbol v
v 中的每個向量 v
vv 都垂直於 w
\boldsymbol w
w 中的每個向量 www。
\boldsymbol v
v，兩面牆的交線是另乙個子空間 w
\boldsymbol w
w，這兩個子空間是正交的。
兩面看起來垂直的牆不是正交的，因為它們相交於一條直線，這條直線同時存在於兩個子空間，它不可能自己垂直於自己。
兩個 r
3\boldsymbol r^3
r3空間中的二維平面不可能正交，當兩個子空間的維數之和大於整個空間的維數時，這兩個子空間肯定不是正交的。
如果乙個向量同時位於兩個正交的子空間內，那這個向量一定是零向量，只有零向量自己垂直於自己。
零向量是零空間和行空間的唯一交點，並且零空間和行空間是 r由 ax=n\boldsymbol r^n
rn中正交的兩個子空間。
0ax=0
ax=0
可得，行空間中的每個向量和零空間中的每個向量都是垂直的，因此它們是正交的子空間。
另一方面，aty
a^ty
aty 是對 a
aa 的行的線性組合，那麼有
x t(
aty)
=(xt
at)y
=(ax
)ty=
0x^t(a^ty) = (x^ta^t)y = (ax)^ty = 0
xt(aty
)=(x
tat)
y=(a
x)ty
=0即，所有 a
aa 的行的線性組合都垂直於 xxx。
左零空間和列空間是 rm\boldsymbol r^m
rm中正交的兩個子空間。
2. 正交補
基本空間不僅僅是正交的，它們的維數也剛剛好。行空間的維數為 r
rr，零空間的維數為 n−r
n-rn−
r，和為 n
nn。列空間的維數為 r
rr，左零空間的維數為 m−r
m-rm−
r，和為 mmm。
r
3\boldsymbol r^3
r3空間中的兩條直線也可以是垂直的，但它們不可能是乙個 3×3 矩陣的行空間和零空間。
乙個子空間 v由這個定義，那麼零空間 n(a\boldsymbol v
v 的正交補（orthogonal complement）包含所有垂直於 v
\boldsymbol v
v 的向量 ，稱為 v
⊥\boldsymbol v^\perpv⊥。
)n(a)
n(a)
是 rn
\boldsymbol r^n
rn中行空間 c(a
t)c(a^t)
c(at
) 的正交補，左零空間 n(a
t)n(a^t)
n(at
) 是 r
m\boldsymbol r^m
rm中列空間 c(a
)c(a)
c(a)
的正交補。
補的意思是說每個向量 x
xx，都可以表示為行空間分量 x
rx_r
xr 和零空間分量 x
nx_n
xn 的和，那麼有：
a xn
=0ax_n =0
axn=0
a xr
=axax_r =ax
axr=a
x所有的向量都去到了列空間，乘以 a
aa 後沒有做其它的事情。
而且，任何列空間中的向量 b
bb 都來自於行空間中的唯一乙個向量。如果有 axr
=axr
′ax_r = ax_r'
axr=a
xr′
，那麼 xr−
xr′x_r-x_r'
xr−xr
′就位於零空間中，而且它也位於行空間中，所以它一定為零向量，也就是 xr=
xr′x_r=x_r'
xr=xr
′。3. 基和子空間
任何 r
n\boldsymbol r^n
rn空間中的 n
nn 個不相關向量一定擴充出 r
n\boldsymbol r^n
rn空間，因此它們是乙個基。
任何擴充出 r
n\boldsymbol r^n
rn空間的 n
nn 個向量一定是不相關的，因此它們是乙個基。
如果 a
aa 中的 n
nn 列是不相關的，則它們擴充出 r
n\boldsymbol r^n
rn空間，因此 ax=
bax=b
ax=b
是可解的。
如果 n
nn 列擴充出 r
n\boldsymbol r^n
rn空間，則它們是不相關的，因此 ax=
bax=b
ax=b
有唯一解。
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