1、行空間和左零空間
矩陣的列所張成的空間叫做列空間，顧名思義，行空間就是矩陣行所張成的空間。
矩陣a的列空間，等於轉置矩陣t(a)的行空間。
所有滿足ax=0的x向量組成的空間叫做零空間，滿足ya=0的向量組成的空間是左零空間。
矩陣a的零空間，等於轉置矩陣t(a)的左零空間。
2、列空間正交左零空間
左零空間的任意向量，有xa=0，x正交與a的所有列向量正交，進而x與a列空間的任意向量正交。
由於x的任意性，說明矩陣的列空間與左零空間正交
同樣行空間與零空間正交。
3、正交補
假設v是rn的乙個子空間，那麼 v的正交補也是乙個子空間，定義為 ，也即是rn中所有正交於v的向量所組成的子空間。
顯然n(a)是行空間r(a) 的正交補。
4、a秩= t(a)秩
a的秩與a轉置的秩相等。通過將矩陣轉化為簡化階梯形，在轉置可知。
a的秩定義為dim(c(a))，a的列空間的基數。 因而dim(c(a) = dim(c(t(a))。
5、dim(v) + dim(v正交補) = n
對於矩陣a，dim(c(a)) + dim(n(a)) = n，這是因為ax=0方程的解空間的基向量數量等於（n-a的簡化階梯形主列數）;
進而 dim(c(t(a))) + dim(n(t(a))=n => dim(c(a))+dim(n(t(a)) =n。 矩陣的列空間的維數+矩陣左零空間的維數=n；
對於任意乙個子空間v，可以將它的基作為列形成乙個矩陣，v相當於這個矩陣的列空間，那麼它的正交補必然就是這個矩陣的左零空間。
6、v的基+v正交補的基 = rn的一組基
假設子空間v與子空間w互為正交補，v的基 = (v1,v2,...,vk)，w的基=（w1,w2,..,wj) ，有k+j = n；
由於v*w=0，v與w共有的乙個唯一向量是零向量；
如果(v1,...,vk,w1,...,wj)是線性無關的，則必然是rn的一組基。
c1v1+...,ckvk+d1w1+...+djwj = 0 =》 c1v1+...+ckvk = -d1w1-...-dkwk =>左右兩邊都是零向量=》c1,...,ck,d1,...,dj =0。 說明(v1,...,vk,w1,...,wj)是線性無關的。
7、正交補的正交補
子空間v的正交補w，那麼w的正交補是不是v呢。是否存在某個向量x，x屬於w的正交補，但不屬於v。
從上一節可知，x可以表示為v+w,v屬於v，w屬於w，那麼有x.w=0 => (v+w).w=v.w+w.w=0 => w.w=0 => w是零向量。可見x必然屬於v。
因此正交補是一種對稱關係。
8、矩陣相關子空間的正交關係
c(t(a)) 與 n(a) 正交補關係
c(a) 與 n(t(a) 正交補
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