向量:\(n\)個數\(a_1,a_2,···,a_n\)組成的有序陣列\((a_1,a_2,···,a_n)\)被稱作向量,分量數稱為向量的維數,向量可以寫作行,稱為行向量,如\((a_1,a_2,···,a_n)\);向量寫作列,稱為列向量,如\(\left(\begina_1\\a_2\\···\\a_n\end\right)\),本質上沒有區別,但是形式上有區別。
零向量:分量都是零的向量稱為零向量。
兩個同維向量的分量都相等,我們稱這兩個向量相等。
兩個同維向量相加(相減)就是分別將每個分量相加(相減)
向量的數乘就是用數分別乘以每個分量\(β,α_1,α_2,···,α_n\)是\(m\)維向量,若存在\(k_1,k_2,···,k_n\),使得
\(β=k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n\)成立,則稱\(β\)是\(α\)向量組的線性組合或者\(β\)是\(α\)向量組的線性表示,\(k_1,k_2,···,k_n\)稱為組合係數。
零向量可由任意向量組表示
向量組中任取乙個向量可由該向量組表示
任意向量均可由\(ε_1=(1,0,···,0),ε_2=(0,1,0,···,0),···,ε_n=(0,0,···,0,1)\)表示
兩個同維向量組可以相互線性表示,則稱這兩個向量組等價
反身性:乙個向量組和自己是等價的
對稱性:乙個向量組\(a\)和另乙個向量組\(b\)是等價的,那麼向量組\(b\)和向量組\(a\)也是等價的
傳遞性:如果向量組\(a\)和向量組\(b\)等價,向量組\(b\)和向量組\(c\)是等價的,那麼向量組\(a\)和向量組\(c\)也是等價的
如果\(α_1,α_2,···,α_n\)是\(n\)個\(m\)維向量,若存在一組不全為\(0\)的\(k_1,k_2,···,k_n\)使得\(k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0\),則認為\(α_1,α_2,···,α_n\)是線性相關。
線性無關:
不是線性相關
找不到一組不全為0的\(k_1-k_n\)使得\(k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0\)成立
\(k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0\)成立時,\(k_1,···,k_n\)必全為\(0\)
結論
向量組中兩個向量成比例,那麼這個向量組是線性相關。
含有零向量 的任意向量組必線性相關。
乙個零向量 必線性相關
乙個非零向量 必線性無關
乙個向量\(α\)線性相關的充要條件是\(α=0\)
如果\(α_1,···,α_r\)線性相關,那麼\(α_1,···,α_r,α_,···,α_s\)線性相關即部分組線性相關,整體組線性相關,推論是整體組線性無關,部分組也線性無關
如果\(α_1=(α_···α_)\),\(α_2=(α_···α_)\),\(···\),\(α_m=(α_····α_)\)是線性無關的,那麼\(γ_1=(α_···α_α_}···α_)\),\(γ_2=(α_···α_α_}···α_)\),\(···\),\(γ_m=(α_···α_α_}···α_)\)也是線性無關。即線性無關的向量組,每個向量增加幾個分量組成的新的向量組(接長向量組)也是線性無關的
\(n\)個\(n\)維向量(\(n\)維向量:向量的個數=向量的維數)構成的行列式\(d\neq0\),那麼這\(n\)個\(n\)位向量線性無關,相反的,\(d=0\)時,他們線性相關。
\(n\)為單維向量組,\(ε_1···ε_n\)線性無關
定理
\(α_1,···,α_s\)線性相關的充要條件是至少乙個向量可由其餘向量表示
如果\(α_1,···,α_s\)線性無關,\(α_1,···,α_s,β\)線性相關,那麼\(β\)可由\(α_1,···,α_s\)唯一線性表示
如果 \(\alpha_1\dots\alpha_s\)可由\(\beta_1\dots\beta_t\)線性表示,則\(s\leq t\),逆否命題:\(\alpha_1\dots\alpha_s\)可由\(\beta_1\dots\beta_t\)線性表示,如果\(s>t\),那麼\(\alpha_1\dots\alpha_s\)線性相關
推論
如果\(m>n\),那麼\(m\)個\(n\)維向量線性相關。
兩個等價的線性無關的向量組含向量的個數是相同的。
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線性代數1 向量與矩陣
線性代數是數學的乙個分支,被廣泛應用於科學與工程中。實際上,線性代數不僅是人工智慧的基礎,更是現代數學和以現代數學為主要分析方法的眾多學科的基礎。線性代數最重要的兩個概念是向量和矩陣,線性代數的核心意義在於提供了一種看待世界的抽象視角 所有的事物都可以被抽象成一些特徵的組合,並在由預置規則定義的框架...
1 線性代數
本文借鑑至 轉置是矩陣的重要操作之一。矩陣的轉置是以對角線為軸的映象,這條從左上角到右下角的對角線被稱為主對角線。下圖顯示了這個操作。我們將矩陣 a的轉置表示為 a 定義如下 向量可以看作只有一列的矩陣。對應地,向量的轉置可以看作是只有一行的矩陣。有時,我們通過將向量元素作為行矩陣寫在文字行中,然後...
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