0. 儘管我們在大多數情況下我們以rn作為向量空間的研究物件，但實際上有很多非rn形式的向量空間。
例如，最高次冪為n的多項式空間。
這裡我們需要區分向量空間和向量座標：向量空間可能是非rn形式，但向量的座標一定是rn的。
x是向量；[x]b是x在基b下的座標。
0.5 mxn矩陣將rn對映到rm （可簡記為m<-n）
1. mxn矩陣a的零空間是rn的子空間；同樣，m個方程n個未知數的齊次線性方程組的解的集合也是rn的子空間。
nula的生成集中向量的個數等於方程ax=0中自由變數的個數。
當且僅當ax=0僅有平凡解，nula=。
當且僅當x|->ax是一對一的，nula=。
解釋:x|->ax一對一 ==> x各列線性無關 ==> ax=0僅有平凡解。
2. mxn矩陣a的列空間是a的列的線性組合組成的集合，cola是rm的子空間。
當且僅當ax=b對每乙個b都有乙個解，cola=rm
當且僅當x|->ax將rn映上到rm，cola=rm
3. 向量空間v->w的線性變換t將v中每個向量x對映成w中唯一向量t(x)
線性變換t的核（即零空間）是v中所有滿足t(u)=0的向量u的集合
t的值域（即列空間）是w中所有具有形式t(x)的向量的集合
4. 矩陣的行初等變換不影響矩陣列的線性相關關係（想象方程組的求解過程）
5. 矩陣a的主元列構成cola的乙個基
與矩陣a等價的階梯矩陣的非零行構成rowa的乙個基
若兩個矩陣行等價，它們有相同的行空間：因為行等價的兩個矩陣例如a、b，b的行是a的行的線性組合，反之亦然。
矩陣行空間維數等於列空間維數等於主元列個數等於矩陣的秩（rank）。
矩陣零空間維數等於齊次方程解的自由變數個數。
6. 如果乙個一般意義上的向量空間（不一定是rx）的基包含n個向量，那麼該向量空間中的某個向量可以用相對於該基的座標操作，這樣就使得操作v像操作rn一樣方便。
例如，n次多項式向量空間的乙個基是
向量y=a0+a1t+...+antn相對於該基的座標是rn+1中的向量：
[a0 a1 ... an]t
使用上述座標，就可以比較簡單地判斷多個多項式是否線性相關。
7. 對rn中的乙個基b=，若令pb=[b1 b2 ... bn]
那麼：x=pb[x]b
[x]b=pb
-1x「標準值」除以該基準（或乘以pb
-1），就得到該基準下的示值。
8. 若向量空間v的乙個基是b=，那麼x|->[x]b是由v映上到rn的一對一的線性變換。
9. 若b和c都是向量空間v的基，假定基中的向量個數為n，則存在乙個nxn矩陣pc<-b使得：
[x]c
=pc<-b
[x]b
其中pc<-b是基b中向量的c-座標向量：
pc<-b=[ [b1]c ... [bn]c ]
該矩陣稱為由b到c的座標變換矩陣。自然，
[x]b=pc<-b
－1[x]c
如上所述，pc<-b是基b中向量的c-座標向量，所以可以按下式求pc<-b：
[c1...cn
| b1...bn
] ~ [ i | pc
<-b
]10. 乙個具有非負分量且各分量數值相加等於1的向量稱為概率向量；隨機矩陣是各列均為概率向量的方陣。
對乙個nxn的正規隨機矩陣p，存在穩態向量（也是概率向量）q使得pq=q
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