8正交向量與子空間

2021-08-21 03:19:44 字數 2186 閱讀 5132

前面還是圖和網路的內容,感覺與自己所求相差較多,可以參考:

第十四課時:正交向量與子空間

本文講解什麼是向量的正交,什麼是子空間的正交,什麼是基的正交。

正交向量

在n維空間中,向量之間的夾角是90度

判斷兩個向量x,

y x,y

是否正交,求乘積xt

y xty

是否等於0,即如果xt

y=0 xty

=0,則x,y正交。

零向量與任何向量都正交。

正交子空間

如果子空間s與子空間t正交,那麼s中的每個向量都和t中的每個向量正交。

如果兩個子空間正交,那麼他們必定不會交與某個非零向量。

行空間和零空間是將整個n維空間一分為二的兩個相互正交的子空間,兩個子空間的維數和為n,稱為n維空間裡面的正交補(行空間的正交補包含與之正交的零空間的所有向量)。若a

x=0 ax=

0存在零空間,則零空間的向量與a的乘ax=0,則表示a的各行乘以x向量得到零向量,說明a的行向量與x是正交的,但是是否a的行空間(行空間包含矩陣中的行向量以及這些行向量的線性組合)裡所有的向量都與x正交呢?很明顯x正交於行向量的線性組合。

列空間和左零空間是將整個m維空間一分為二的兩個相互正交的子空間,兩個子空間的維數和為m,稱為m維空間裡面的正交補。

以三維空間為例,n=3,矩陣a如果行空間是一維的一條直線,r=1,那麼dimn(a)=2,零空間就是垂直於這條直線的乙個平面。實際上向量(1 2 5)是這個平面的法向量。

可以把線性代數的內容分為幾個部分:

1)第一部分是線性代數的基本定理,表明四個基本子空間之間的關係,重點是研究維數;

2)第二部分的重點是在已知維數的情況下研究它們的正交性;

3)第三部分是關於它們的基,即正交基。

如何求ax=b 乙個無解的方程組的解,即當ax=b無解時(b不在a的列空間),如何去解這個方程組。

對於長方矩陣(很多情況下是無解的,因為b很可能不能由a的列向量線性組合得到),有時候a的方程很多,未知數很少,這時候有些方程可能得到的結果是有很大誤差的,即壞資料,即b中有一部分是壞資料,其實求出方程的解只需要一小部分方程就夠了,需要做的是把這些」壞資料「篩選出來,這是線性代數需要解決的問題,如何去求這個解,最優解是什麼。

用代數的語言來描述這個問題:我們得到一些方程(這些方程無解),如何求出它們的最優解?一種方法是不斷去掉一些方程,直到剩下乙個可逆的方陣,然後求出它的解。但這種方法不好判斷。

更好的方法是:矩陣

a a

是m×n

' role="presentation" style="position: relative;">m×n

m×n的長方矩陣,那麼at

a ata

結果就是乙個n×

n n×n

的對稱方陣。因此,當ax=ba

x=b這是乙個壞方程時,只需要把壞方程兩側乘以a轉置,就得到好方程。

注意變換之後x』是與ax=b是不同的,我們希望新的方程組是可解的,而且這是最優解。對於

ata ata

,它不一定是可逆的,at

a ata

的秩等於

a a

的秩,因此at

a' role="presentation" style="position: relative;">ata

ata的零空間等於a的零空間。(下節證明)

n(at

a ata

)=n(a

) n(a

)rank(at

a ata

)=rank(

a a

)因此可得,當且僅當a的零空間裡面只有零向量(a的各列線性無關)時,at

a' role="presentation" style="position: relative;">ata

ata可逆。

正交向量與子空間

關於向量正交 orthogonality vector 我們都已不陌生,正交是垂直的另一種說法,兩個向量正交意味著這兩個向量的夾角為90度,如果要判斷兩個向量是否正交,只需對向量作點乘 dot product 相加,即內積,等於0就是正交的,如xty 0,則x和y是正交的,如果x是零向量,y任意或者...

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線性代數之 正交向量與子空間

1.正交子空間 兩個向量垂直,意味著 vtw 0v tw 0 vtw 0。兩個子空間 v boldsymbol v v 和 w boldsymbol w w 是正交的,如果v boldsymbol v v 中的每個向量 v vv 都垂直於 w boldsymbol w w 中的每個向量 www。想象...