積分作為高等數學的核心部分，主要含蓋了一重積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第二型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲面積分。微積分學在研究中作為必不可少的工具，熟練掌握一些計算方法和重要公式比如是最基本的了。下面是我的一些總結：
一重積分，主要精力就要研究不定積分和定積分了。不定積分的求解是後面求其他積分的基礎，是最最最基礎的部分，這裡一定要有充分的認識，後續的其他積分求解都會以一重積分的不定積分作為基礎來進行推算的。
∫f(x)dx：dx為長度元素
一重積分的意義是乙個物理量在另乙個物理量上的累加效果。比如速度關於時間的函式為v(t)，速度*時間=路程。
∫v(t)dt=s(t).
一重積分還可以表示積分函式的變化情況。
一重積分的幾何意義是求得函式f(x)在區間(a,b)上函式與x軸圍成圖形的面積。如圖：
☆☆☆換元積分法：
∫f(u(x))u`(x)dx = ∫f(u)du
☆☆☆分布積分法：
∫udv=uv-∫vdu
∫∫(d)f(x,y)dθ：dθ為面積元素
二重積分的意義是乙個物理量在乙個二維物理量上的累加效果。比如曲頂柱體的體積，平面薄片的質量。
二重積分的幾何意義是f(x,y)在區域d上與xoy平面圍成的閉區域的體積。
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y)dθ=∫*(a->b)* dx∫*(φ1(x)->φ2(x))* f(x,y)dy或∫∫f(x,y)dθ=∫*(c->d)* dy∫*(φ1(y)->φ2(y))* f(x,y)dx
☆☆☆換元積分法：
1.極座標，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(rcosθ,rsinθ)r drdθ。注意這裡多了乙個r
2.直角座標，x=x(u,v) ，y=y(u,v)。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f[x(u,v),y(u,v)]|j|dudv。這裡的j是雅可比行列式，
這裡可以用密度來進行理解：已知ρ(x,y,z)表示空間體在每一點的密度大小。積分可以求得物體的質量。
∫∫∫(ω)ρ(x,y,z)dv，這裡dv為體積元素。
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y,z)dv=∫∫dxdy∫*(z1(x,y)->z2(x,y))* f(x,y,z)dz或∫∫f(x,y,z)dv=∫*(α->β)* dz∫∫*d(z1)->d(z2)*f(x,y,z)dxdy或
☆☆☆換元積分法：
1.極座標，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f(rcosθ,rsinθ,z)r drdθdz。和二重積分還原一樣。
2.球面座標，令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=cosφ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫[f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)(r^2)sinφ] drdθdz.這裡多了(r^2)sinφ。
3.直角座標，x=x(u,v,l) ，y=y(u,v,l)，z=z(u,v,l)。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f[x(u,v,l),y(u,v,l),z(u,v,l)] |j| du***l。這裡的j是雅可比行列式，j=∂(x,y,z)/∂(u,v,l).
已知一條曲線的線密度，求曲線的質量。這裡不同於求曲線的長度，如果這是一條質量均勻的曲線，那麼利用弧微分求出它的長度就可以知道它的質量了。但是現在只能知到它的線密度，代表他不一定是均勻的。
∫(l)f(x,y)ds，表示對平面上弧長的曲線積分。∫(l)f(x,y,z)ds就可以表示空間的曲線了。
∫(l)f(x,y)ds
對於引數方程x=x(t),y=y(t)。ds=√[x`(t)*x`(t)+y`(t)*y`(t) ]dt
∴ ∫(l)f(x,y)ds = ∫(ta->tb)f[x(t),y(t)] √[x`(t)*x`(t)+y`(t)*y`(t) ]dt
1.如果y=y(x)，∫(l)f(x,y)ds = ∫(xa->xb)f[x,y(x)] √[1+y`(x)*y`(x) ]dx
2.如果x=x(y)，∫(l)f(x,y)ds = ∫(yc->yd)f[x(y),y] √[x`(y)*x`(y)+1 ]dy
在xoy平面內一質點受到變力f(x,y)=p(x,y)i+q(x,y)j的作用沿光滑曲線弧l,從點a運動到點b，求f做的功。
∫(l)p(x,y)dx+q(x,y)dy。如果l是閉合曲線則寫成∮(l)p(x,y)dx+q(x,y)dy
對於引數方程x=x(t),y=y(t)
∫(l)p(x,y)dx+q(x,y)dy=∫(ta->tb)[p(x(t),(t))*x`(t)+q(x(t),y(t))*y`(t)]dt
∫(l)pdx+qdy+rdz=∫(l)[pcosα+qcosβ+rcosγ]ds
αβγ分別為曲線在點(x,y,z)處與座標軸的夾角。
類似於第一型曲線積分，現在知道曲面的面密度ρ(x,y,z),求曲面的質量。
對於方程z=z(x,y)。∫ ∫(∑)f(x,y,z)ds = ∫(dxy)f[x,y,z(x,y)] √[1+(∂z/∂x)(∂z/∂x) + (∂z/∂y)(∂z/∂y) ]dxdy
對於穩定流動的不可壓縮的流體在(x,y,z)處的流度可以表示為v(x,y,z)=(p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z))
求單位時間內流向定向曲面的流體的質量及流量φ。
正負號根據∑面的正負方向來判斷。
∫∫(∑)p(x,y,z)dydz+q(x,y,z)dxdz+r(x,y,z)dxdy=∫∫(∑)[p(x,y,z)cosα+q(x,y,z)cosβ+r(x,y,z)cosγ ]ds
即∫∫(∑)pydz+qdxdz+rdxdy=∫∫(∑)(pcosα+qcosβ+rcosγ )ds
九章曲線積分與曲面積分
2 第一型曲面積分 對面積的曲面積分 3 第二型曲線積分 對座標的曲線積分 4 格林公式及其應用 定理4.1 格林公式 二重積分和曲線積分 5 第二型曲面積分 對座標的曲面積分 6 高斯公式和斯托克斯公式 7 場論初步 規定 將格林公式中的有向閉曲線圍成的乙個平面閉區域 此時流體流過圍成空間閉區域曲...
重積分和線面積分總結
因為要準備省賽，所以要加強對演算法的學習，但是我卻以這為理由，放鬆了對高數 線代等其他學科的學習，現在看來，這是不理智的，因為 學習都是相通的 搞演算法也要有良好的基礎，而且題目也有不少直接是高數的定理 公式，所以我悔悟了，準備好好對待各個學科，從高數走起。重積分一 二重積分的概念和性質 定義 二重...
Part 8 曲面積分
直徑趨於零則面積一定趨於零 但面積趨於零，有可能出現長條的情況，不滿足密度近似均勻和形體近似平面 分 割極細，以至於密度和形體在面元內部均 勻 隨後求 和 在這種切分下整體呈現出穩定的極限值 線性性質，分片光滑的可累加性 重要 奇偶性 完全可以認為是第一類曲線積分的形式上的直接拓展。lim limi...