主要分為二重積分和三重積分。
二重積分的基本思想是變成兩次積分。物理意義已知面密度f,算質量
即首先把y方向的每一根線段計算出質量(相當於把y的線捏起來了)，然後算x
主要方法如下：
計算∬ df
(x,y
)\iint \limits_df(x,y)
d∬f(x
,y)，其中d的形狀已知。
畫出d，然後做垂直x(或y)軸的線，看是否只有兩個交點，如果是就叫x型區域
積分的時候，x的上下限是d能取到的最遠的兩頭,y的上下限是任意位置x，y的上下限
具體看我的圖d，橢圓與座標軸圍的圖形,x1,x2表示最遠能取到的位置,y1,y2表示任意x取到的y的最遠位置
然後就是計算∫x1
x2dx
∫y1(
x)y2
(x)f
(x,y
)dy\int_^dx\int_^f(x,y)dy
∫x1x2
dx
∫y1
(x)y
2(x
)f(
x,y)
dy先算dy再算dx，算dy的時候x看作常數。
難點在於:如果不能用乙個y(x)表示，那就得把x分段了
先算y也是一樣的。
再次簡單總結:
x在d的最遠位置是x的積分上下限，y上下限是對任意x，y能取到的最遠的位置
然後先對y再對x積分。如果不能用乙個式子表示，就分段。
這是先x再y，當然先y再x也行
分為先二後一和先一后二。
先二後一思想就是對任意z，有乙個平面d，與z有關。所以算的時候先算d的二重積分，最後算z的
先一後二思想是對底面任意(x,y)有乙個z，把z先積起來然後算對d的積分
當然，第一次積分後對z或者對d的積分結果都是另乙個的函式。即對z積分以後是f(d)dd，對d積分後是f(z)dz
具體見圖
所以，方法是：首先確定用哪個，一般選第二種，然後z的上下限是最大的能取到的位置
再然後算任意z處d的積分，像這裡就要分成三部分算。
每一部分都用之前的方法：即確定x最大的上下限，然後任意x處y用x表示出來，找到上下限。
之後依次積就行。
最後給個例題，原題見華師大數分下p264第二題的(2)
試改變下列累次積分的順序：
∫ 01
dx∫0
1dy∫
0x2+
y2f(
x,y)
dz\int_0^1dx\int_0^1dy\int_0^f(x,y)dz
∫01dx
∫01
dy∫0
x2+y
2f(
x,y)
dz首先畫出積分區域v。方法是首先畫在x-y,x-z,y-z的投影然後再畫在x=1,y=1上投影，腦補一下。
講道理，一開始真的不好畫，但是投影一下可能會好一點。
之後如果算的是以x-y為底面的話：
z的積分範圍是0到2,但是發現z在取1前後切面的面積表示不一致，那麼就分開來：
那麼就分為兩部分
z是0到1時，x是0到1，任取x，y是0到1−x
2\sqrt
1−x2
z是1到2時，x是z−1
\sqrt
z−1
到1，y是z−x
2\sqrt
z−x2到1
然後按從外到內z,x,y的順序積就好了
其他的類似。
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