看到這樣的問題∬s
+x2d
y∧dz
+y2d
x∧dz
+z2d
x∧dy
其中 s+
是 球面x2
+y2+
z2=1
上半球的、夾在圓柱面 x2
−x+y
2=0 之內的 部分的
外面。我自己第二類曲面積分學得不好，考試也是靠死記公式和習題通過的，並沒有理解，以至於還有些看似簡單的問題自己搞不定；現在回過頭來溫習一下這道習題，查查資料、問問高手們，動手算算，寫出來對比對比，發現很有收穫，對教科書上的概念和公式的理解又深入了一些。
被積的向量場 (x
2,y2
,z2)
很簡單, 關鍵是有向曲面：
取的是下面中的上半片：
看似乎出自某中文圖書中的「習題」。如果不出圖，純想象，看上去還是有難度的。然而，作業題意味著，積分的計算應該不會太難。
第二類曲面積分的求解，除了能夠利用定理的之外，通常是轉化為二重積分之後再計算的。
國內多元微積分教材上的方法是下面公式中左側逐項計算的方法，對被積的有向曲面向三個不同座標平面作投影（這個曲面特殊時難度很高）。這種方法，英文多元微積分教材上不太容易找到。英文教材裡面通常推薦的是使用下面公式的右邊計算： ∬s
+fxd
ydz+
fydx
dz+f
zdxd
y=∬s
f⃗ ⋅n
⃗ ds
左邊是有向曲面，右邊是方向去掉了之後的二重積分。國外教材的方法似乎更容易用程式實現。還是我理解的不夠透徹？
從程式設計序的角度，這種方法繁瑣。這個向量場三個分量都有的情形，要對有向曲面向三個座標平面都作投影、分別計算曲面上的二重積分。
其中，投向 xo
y 的部分最簡單，是乙個圓（用引數形式或極座標表示之後、再二重積分）；而投向yo
z 的投影，是乙個簡單雙紐線上半部包圍的區域。
但是，投向xo
z 的部分，實際上會有重疊，似乎要分上下兩個面分別計算，它們剛好映象對稱而且邊界主要是拋物線和圓弧這樣的二次曲線段拼接起來的封閉區域（因為剛好有向曲面映象對稱，從而上下兩片的二重積分可以抵消）；∬σ
yz(1
−y2−
z2)d
σyz+
0+∬σ
xy(1
−x2−
y2)d
σxy
兩個二重積分：=∫
1z=0
∫z2−
z4√y
=−z2
−z4√
(1−y
2−z2
)dz+
∫1x=
0∫x−
x2√y
=−x−
x2√(
1−x2
−y2)
dydx
結果是，在參***部分。
有向曲面塊的引數化描述，首先它是x2
+y2+
z2=1
上半球面的一部分，所以，用兩個引數能夠表示成 (x
,y,1
−x2−
y2−−
−−−−
−−−√
) ，其次，圓柱的底也就是被積部分在xo
y 上的投影 x2
−x+y
2=0 ，所以，是x2
−x+y
2<=
0 的區域，y∈
[−x−
x2−−
−−−√
,x−x
2−−−
−−√]
,x∈[
0,1]
。∬sf
⃗ ⋅n⃗
ds是乙個關於 標量函式f⃗
⋅n⃗ =
(x2,
y2,z
2)⋅(
x,y,
z)=x
3+y3
+z3 的二重積分，積分的變數是此時表示 無向曲面
s 的x,
y兩個變數：
c 是曲面引數方程(x
,y,z
=1−x
2−y2
−−−−
−−−−
−√) 中關於曲面引數(x
,y) 的三個雅克比行列式： a=
d(y,
z)d(
x,y)
=x1−
x2−y
2−−−
−−−−
−−√ , b=
d(z,
x)d(
x,y)
=y1−
x2−y
2−−−
−−−−
−−√ , c=
d(x,
y)d(
x,y)
=1)=∫1
x=0∫
x−x2
√y=−
x−x2
√x3+
y3+(
1−x2
−y2)
3/21
−x2−
y2−−
−−−−
−−−√
dydx
完全成為乙個二重積分問題。用極座標會方便些嗎？但是答案已經可以出來了。
變成二重積分之後，都容易用程式計算了。新版10+mathematica對隱函式形式描述的不規則區間積分的功能，讓問題也變得很容易。更像是直接使用 f⃗
⋅n⃗ ，深入的技巧不能用前述表達，貼**
integrate[#,∈implicitregion[x
^2+y
^2+z
^2==
1&& x
^2-x +y
^2<=
0&& z>= 0,
]]&@ ( . )
38105+5
π32
第二類斯特靈數
hdu 2643 最近在teddy的家鄉舉辦了一場名為 cow year blow cow 的比賽.n競爭對手參加了比賽。比賽非常緊張，排名正在發生變化。現在的問題是 競爭者可以在競爭中排名多少種不同的方式，從而允許聯絡的可能性。因為答案非常大，你可以輸出答案mod 20090126.以下是n 2時...
遞迴問題之第二類Stirling數放蘋果問題
其不同的方案數用s n,m 表示，稱為第二類stirling數。下面就讓我們根據定義來推導帶兩個引數的遞推關係 第二類stirling數。解 設有n個不同的球，分別用b1,b2,bn表示。從中取出乙個球bn，bn的放法有以下兩種 bn獨自佔乙個盒子 那麼剩下的球只能放在m 1個盒子中，方案數為s2 ...
SDNU 1011（第二類stirling數）
time limit 1000 ms memory limit 32768 kb total submission s 667 accepted submission s 165 現有r個互不相同的盒子和n個互不相同的球，要將這n個球放入r個盒子中，且不允許有空盒子。則有多少種放法？n,r 0 n,...