1,換元法
換元法主要是根據「積分形式不變性」,通過「替換被積變數」的方式將「被積函式」轉換為「積分表」中的函式及其組合,待求出原函式之後,再將變數替換回來的求積分的方法。
1)復合函式換元法(第一類換元法)
復合函式換元法主要是利用復合函式微分來進行「湊微分」,即將「微分符」外面的東西變到「微分符」裡面。其關鍵點是要找到合適的中間變數u=
u(x)
,使得 : ∫f
(x)d
x=∫g
(u)d
u=g(
u)+c
=g[u
(x)]
+c例: ∫t
an(x
)dx=
∫sin
(x)c
os(x
)dx=
−∫d[
cos(
x)]c
os(x
)=−l
n|co
s(x)
|+c
2)反函式換元法(第二類換元法)
反函式換元法與復合函式換元法剛好相反,它需要做的是將「微分符」裡面的東西變到「微分符」外面。其關鍵點是找到新變數t,使得x=
φ(t)
,積分過程如下: ∫f
(x)d
x=∫f
[φ(t
)]d[
φ(t)
]=∫f
[φ(t
)]∗φ
′(t)
dt=g
[φ−1
(x)]
+c最後又要用反函式將x替換回來
例: ∫1x
2−a2
−−−−
−−√d
x=?w
hena
>
0
解:令se
c(t)
=xa ,則ta
n(t)
=sec
2(t)
−1−−
−−−−
−−−√
=1ax
2−a2
−−−−
−−√ ,代入上式得 ∫1
x2−a
2−−−
−−−√
dx=l
n|xa
+x2−
a2−−
−−−−
√a|+
c
1,分部積分法
分部積分法是從「函式乘積的微分」,即d(
u∗v)
=udv
+vdu
,推導出來的一種求積分的方法。如果說「換元法」是將微分符外面的東西變到微分符裡面,或反過來;那麼「分部積分法」則是直接交換微分符裡面和外面的東西。 ∫u
dv=u
v−∫v
du或∫
u(x)
v′(x
)dx=
u(x)
v(x)
−∫v(
x)u′
(x)d
x
分部積分法主要是將「求函式的積分轉變為求導函式的積分」(又是「降維」的方法),所以主要應用於這兩種情況:一是函式的比較複雜,而它的導數比較簡單,比如:ln x、arctan(x)、arcsin(x)等;二是函式與導數差不多的情況,比如:ex
、sin(x)、cos(x)等。
例: ∫x2
ln(x
)dx=
x33∗
ln(x
)−∫x
33d(
ln(x
))=x
33∗l
n(x)
−∫x3
3∗1x
dx∫x
2e−2
xdx=
∫x2d
[e−2
x−2]
=−12
x2e−
2x+∫
xe−2
xdx
從上面這兩個例題的推導過程來看,分部積分法實際上是一種「遞迴」(recursion)演算法。 ∫e
xsin
(x)d
x=ex
sin(
x)−∫
exco
s(x)
dx=e
xsin
(x)−
exco
s(x)
−∫ex
sin(
x)dx
上式是一種特殊的遞迴,通過兩次分部積分,又得到了自身,故,它的遞迴結束條件是重回自身。
換元法:
3,求積分∫e
−|x|
dx解:包含絕對值的積分式,不能用python直接解。可以將它分段表示,再用「湊微分法」求解,最後取x=0點連續,求出共同的常數c。 ∫e
−|x|
dx={
−e−x
+cex
−2+c
x≥0x
<
0
下面再給出5-10題的python求解過程(注,對於「換元」,sympy.subs函式給與了很好的支援):
(∫from sympy import *
init_printing()
#exercise 3
x = symbol('x')
integrate(exp(-abs(x)), x), integrate(exp(-x), x), integrate(exp(x), x)
e−|x
|dx,
−e−x
,ex)
(1#exercise 5
x = symbol('x')
f = log(x) / x ** 2
f, integrate(f, x)
x2log(x)
,−1x
log(x)
−1x)
(−#exercise 6
x = symbol('x')
df = exp(-x).diff(x)
g = df.subs(x, log(x))
g, integrate(g / x, x)
1x,1
x)
(2#exercise 7
x = symbol('x')
f = x ** 2
f = f.diff(x)
g = f.subs(x, 1 - x ** 2)
f, g, integrate(x * g, x)
x,−2
x2+2
,−x4
2+x2
)
(x#exercise 8
x = symbol('x')
f = x / (1 - x) ** 3
f, integrate(f, x)
(−x+
1)3,
2x−1
2x2−
4x+2
)
(u#exercise 9
x, u = symbols('x u')
f = u / (1 + u ** 4)
gu = integrate(f, u)
f, gu, gu.subs(u, sin(x))
u4+1
,12atan(u
2),1
2atan
(sin2(
x)))
(2#exercise 10
x = symbol('x')
f = 2 ** x + x ** 2
f, integrate(f, x)
x+x2
,2xlog(2
)+x3
3)
B 微積分 Sigmoid函式
目錄更新 更全的 機器學習 的更新 更有python go 資料結構與演算法 爬蟲 人工智慧教學等著你 sigmoid函式詳解圖例 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt ax plt.subplot 111 ax.spines righ...
B 微積分 sign 符號 函式
目錄更新 更全的 機器學習 的更新 更有python go 資料結構與演算法 爬蟲 人工智慧教學等著你 sign函式也稱作符號函式,當x 0的時候y 1 當x 0的時候y 0 當x 0的時候y 1。sign函式公式為y 1,x 00 x 0 1,x 0 role presentation style...
微積分學的發現
回顧歷史,1672年,26歲的 小毛頭 萊布尼茲 leibniz,1646 1716 在惠更斯的指點下,轉向數學研究,在閱讀帕斯卡數學著作,受到啟發。在笛卡爾直角座標系下,萊布尼茲發現,給定乙個曲邊梯形,面積為s,將其無限分割為豎形直方形,底邊寬度為 x 無窮小 高度為f,那麼,存在以下相等關係 i...