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name: 鋼條切割問題
author: 巧若拙
description: 給定一段長度為n英吋的鋼條和乙個**表 pi (i=1,2, …,n)，求切割鋼條的方案，使得銷售收益rn最大。
注意，如果長度為n英吋的鋼條**pn足夠大，最優解可能就是完全不需要切割。
若鋼條的長度為i，則鋼條的**為pi，如何對給定長度的鋼條進行切割能得到最大收益？
長度i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
**pi 1 5 8 9 10 17 17 20 14 30
i = 1時，鋼條不可切割，r[1]= 1；
i = 2時，鋼條可分割為1+ 1，其**為2。若不分割（0 + 2），**為5。即r[2] = 5；
i = 3時，鋼條可分割為0+ 3，1 + 2。r[3] = 8；
同理可得：
r[4] = 10（2+ 2）；
r[5] = 13（2+ 3）；
r[6] = 17（0+ 6）；
r[7] = 18（1+ 6或4+ 3=> 2 + 2 + 3）；
.......
我們可以發現，長度為7時，將其切割為長度4與長度3的鋼條，並對兩個鋼條分別求最優解：
長度4的最優解為r[4] = 10（2 + 2），長度3的最優解為r[3] = 8，即可得r[7] =r[4]+ r[3] =>原問題的最優解等於子問題的最優解之和的最大值
我們將鋼條左邊切割下長度為 i 的一段，只對右邊剩下的長度為 n-i 的一段繼續進行切割（遞迴求解），對左邊的一段不再進行切割。
即問題分解的方式為：將長度為n 的鋼條分解為左邊開始一段，以及剩餘部分繼續分解的結果。
這樣，不做任何切割的方案就可以描述為：第一段的長度為n ，收益為 pn，剩餘部分長度為0，對應的收益為r0=0。於是公式的簡化版本：
因此，在計算r[i]時，所求值即為r[0] +r[i]，r[1]+ r[i-1]，r[2]+ r[i-2]，... ，r[i-1] +r[1] 之間的最大值，
而在動態規劃中，r[0]--r[i-1]的值在計算r[i]之前已經儲存好了，進行少量的運算便能取得最優結果。
這個是典型的完全揹包問題，相當於共有n個物品，物品的重量wi分別是1-n，價值為pi，揹包總容量為n，求最大價值。
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#include#include#includeusing namespace std;
const int maxc = 10000; //揹包最大容量
const int maxn = 10000; //物品的最大個數
int w[maxn+1];//物品的重量
int p[maxn+1];//物品的價值
int b2[maxn+1][maxc+1]; //記錄給定n個物品裝入容量為c的揹包的最大價值
int b4[maxc+1]; //記錄最優解
int x[maxn+1]; //記錄裝入揹包中的物品編號及其數量
int completepack_2(int n, int c);//動態規劃:f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-w[i]] + p[i])
int completepack_4(int n, int c);//優化的動態規劃演算法，一維陣列儲存記錄
void show(int i, int j); //i和j分別表示正在處理的第i個物品和此時揹包的剩餘容量
int show_2(int n, int c); //利用陣列b2，輸出物品裝載情況，並返回實際裝載量，x[i]初始化為0
int main()
while (p[i] <= p[i-1]);
printf("%d ", p[i]);
w[i] = i;
} c = n;
//動態規劃：二維陣列儲存記錄，需要用到全域性變數w, p, 另有b2[maxn+1]預設初始化為0
cout << completepack_2(n, c) << endl;
//優化的動態規劃演算法，一維陣列儲存記錄，需要用到全域性變數w, p, 另有b4初始化為0
cout << completepack_4(n, c) << endl;
//利用陣列b2，輸出物品裝載情況，x[i]初始化為0
cout << show_2(n, c) << endl;
//利用陣列b2，按照編號順序，遞迴輸出裝入揹包的物品資訊（編號，數量，重量，價值）
show(n, c);
return 0;
}int completepack_2(int n, int c)//動態規劃:f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-w[i]] + p[i]) }
return b2[n][c];
}int completepack_4(int n, int c)//進一步優化的動態規劃演算法，用1個一維陣列代替二維陣列 }
return b4[c];
}void show(int i, int j) //i和j分別表示正在處理的第i個物品和此時揹包的剩餘容量
else
}}}
int show_2(int n, int c) //利用陣列b2，輸出物品裝載情況，並返回實際裝載量，x[i]初始化為0
}} }
int s = 0;
for (int i=1; i<=n; i++)
} return s;
}
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