最長遞增子串行的三種演算法

給定乙個長度為n的陣列，找出乙個最長的單調自增子序列（不一定連續，但是順序不能亂）。例如：給定乙個長度為6的陣列a，則其最長的單調遞增子串行為，長度為4.

這個問題可以轉換為最長公共子串行問題。如例子中的陣列a，則我們排序該陣列得到陣列a『，然後找出陣列a和a』的最長公共子串行即可。顯然這裡最長公共子串行為，也就是原陣列a最長遞增子串行。最長公共子串行演算法在演算法導論上有詳細講解，這裡簡略說下思想。

假定兩個序列為x=和y=為x和y的任意乙個lcs。

1）如果xm = yn，則zk = xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的乙個lcs。

2）如果xm != yn, 則zk != xm蘊含z是xm-1和y得乙個lcs。

3）如果xm != yn, 則zk != yn蘊含z是x和yn-1的乙個lcs。

設長度為n的陣列為，則l(0)=1, l(1)=2, l(2)=3, l(3)=1, l(4)=2, l(5)=4。所以該陣列最長遞增子串行長度為4，序列為。演算法**如下：

cpp**

#include

using

namespace std;

#define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //陣列長度

int lis(int arr, int len)

} } int max = 0;

for (int j=0; jcout <

if (longest[j] > max) max = longest[j]; //從longest[j]中找出最大值

} return max;

} int main()

; //測試陣列

int ret = lis(arr, len(arr));

cout <

return 0;

} 假設存在乙個序列d[1..9] =，可以看出來它的lis長度為5。

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外，我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到b裡，令b[1] = 2，就是說當只有1乙個數字2的時候，長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後，把d[2]有序地放到b裡，令b[1] = 1，就是說長度為1的lis的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>b[1]，所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5，就是說長度為2的lis的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5，len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的lis最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的lis最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候b[1..2] = 1, 3，len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為b[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4， len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到b[5] = 9，嗯。len繼續增大，到5了。

最後乙個, d[9] = 7，它在b[3] = 4和b[4] = 8之間，所以我們知道，最新的b[4] =7，b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

注意，這個1,3,4,7,9不是lis，它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在b中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)～！

**如下（**中的陣列b從位置0開始存資料）：

cpp**

#include

#define n 9 //陣列元素個數

int array[n] = ; //原陣列

int b[n]; //在動態規劃中使用的陣列,用於記錄中間結果,其含義三言兩語說不清,請參見博文的解釋

int len; //用於標示b陣列中的元素個數

int lis(int *array, int n); //計算最長遞增子串行的長度,計算b陣列的元素,array迴圈完一遍後,b的長度len即為所求

int bisearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜尋演算法

int main()

return 0;

} int lis(int *array, int n)

else

} return len;

} //修改的二分查詢演算法，返回陣列元素需要插入的位置。

int bisearch(int *b, int len, int w)

return left;//陣列b中不存在該元素，則返回該元素應該插入的位置

}

最長遞增子串行的三種演算法

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最長遞增子串行

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