floyd 最短路演算法

floyd最短路徑演算法**）

在圖論中經常會遇到這樣的問題，在乙個有向圖裡，求出任意兩個節點之間的最短距離。我們在離散數學、資料結構課上都遇到過這個問題，在計算機網路裡介紹網路層的時候好像也遇到過這個問題，記不請了... 但是書本上一律採取的是dijkstra演算法，通過dijkstra演算法可以求出單源最短路徑，然後逐個節點利用dijkstra演算法就可以了。不過在這裡想換換口味，採取robert floyd提出的演算法來解決這個問題。下面讓我們先把問題稍微的形式化一下：

如果有乙個矩陣d=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距離。若i與j之間無路可通，那麼d(ij)就是無窮大。又有d(ii)=0。編寫乙個程式，通過這個距離矩陣d，把任意兩個城市之間的最短與其行徑的路徑找出來。

我們可以將問題分解，先找出最短的距離，然後在考慮如何找出對應的行進路線。如何找出最短路徑呢，這裡還是用到動態規劃的知識，對於任何乙個城市而言，i到j的最短距離不外乎存在經過i與j之間的k和不經過k兩種可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的數目)，在檢查d(ij)與d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)與d(kj)分別是目前為止所知道的i到k與k到j的最短距離，因此d(ik)+d(kj)就是i到j經過k的最短距離。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示從i出發經過k再到j的距離要比原來的i到j距離短，自然把i到j的d(ij)重寫為d(ik)+d(kj)，每當乙個k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距離。重複這一過程，最後當查完所有的k時，d(ij)裡面存放的就是i到j之間的最短距離了。所以我們就可以用三個for迴圈把問題搞定了，但是有乙個問題需要注意，那就是for迴圈的巢狀的順序：我們可能隨手就會寫出這樣的程式，但是仔細考慮的話，會發現是有問題的。

for(int i=0; i

問題出在我們太早的把i-k-j的距離確定下來了，假設一旦找到了i-p-j最短的距離後，i到j就相當處理完了，以後不會在改變了，一旦以後有使i到j的更短的距離時也不能再去更新了，所以結果一定是不對的。所以應當象下面一樣來寫程式：

for(int k=0; k

這樣作的意義在於固定了k，把所有i到j而經過k的距離找出來，然後象開頭所提到的那樣進行比較和重寫，因為k是在最外層的，所以會把所有的i到j都處理完後，才會移動到下乙個k，這樣就不會有問題了，看來多層迴圈的時候，我們一定要當心，否則很容易就弄錯了。

接下來就要看一看如何找出最短路徑所行經的城市了，這裡要用到另乙個矩陣p，它的定義是這樣的：p(ij)的值如果為p，就表示i到j的最短行經為i->...->p->j，也就是說p是i到j的最短行徑中的j之前的最後乙個城市。p矩陣的初值為p(ij)=i。有了這個矩陣之後，要找最短路徑就輕而易舉了。對於i到j而言找出p(ij)，令為p，就知道了路徑i->...->p->j；再去找p(ip)，如果值為q，i到p的最短路徑為i->...->q->p；再去找p(iq)，如果值為r，i到q的最短路徑為i->...->r->q；所以一再反覆，到了某個p(it)的值為i時，就表示i到t的最短路徑為i->t，就會的到答案了，i到j的最短行徑為i->t->...->q->p->j。因為上述的演算法是從終點到起點的順序找出來的，所以輸出的時候要把它倒過來。

但是，如何動態的回填p矩陣的值呢？回想一下，當d(ij)>d(ik)+d(kj)時，就要讓i到j的最短路徑改為走i->...->k->...->j這一條路，但是d(kj)的值是已知的，換句話說，就是k->...->j這條路是已知的，所以k->...->j這條路上j的上乙個城市(即p(kj))也是已知的，當然，因為要改走i->...->k->...->j這一條路，j的上乙個城市正好是p(kj)。所以一旦發現d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(kj)存入p(ij)。

下面是具體的c**：

#include

#define maxsize 20

void floyd(int [maxsize], int [maxsize], int);

void display_path(int [maxsize], int [maxsize], int);

void reverse(int , int);

void readin(int [maxsize], int *);

#define maxsum(a, b) (((a) != int_max && (b) != int_max) ? \

((a) + (b)) : int_max)

void floyd(int dist[maxsize], int path[maxsize], int n)}

void display_path(int dist[maxsize], int path[maxsize], int n)

while (i != k);

reverse(chain, count);

printf("%d", chain[0]+1);

for (k = 1; k < count; k++)

printf("->%d", chain[k]+1);

printf("->%d", j+1);}}

}free(chain);}

#define swap(a, b)

void reverse(int x, int n)

void readin(int dist[maxsize], int *number)

gets(line);

sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length);

while (origin != 0 && dest != 0 && length != 0)

}測試程式如下所示：

int main(void)

其中readin函式規定了輸入的格式，第一列是指出有多少個城市；第二列以後每行三個數；第乙個和第二個是一條路徑的起點和終點，第三個數是路徑的長度，最後以三個0作為輸入結束條件。下面是乙個輸入的例子：

input the path information:

--------------------------------------

41 2 5

2 1 50

2 3 15

2 4 5

3 1 30

3 4 15

4 1 15

4 3 5

0 0 0

對應的輸出結果為：

origin->dest dist path

----------------------------------------------

1->2 5 1->2

1->3 15 1->2->4->3

1->4 10 1->2->4

2->1 20 2->4->1

2->3 10 2->4->3

2->4 5 2->4

3->1 30 3->1

3->2 35 3->1->2

3->4 15 3->4

4->1 15 4->1

4->2 20 4->1->2

4->3 5 4->3

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