第一節我們介紹了線性空間，他就是乙個方格紙。
第二節我們介紹了座標系變換中，基變換和座標之間的關係。
接下來讓我們考慮在座標系變換中的變換本身這個東西。
讓我們繼續回到我們熟悉的情形，讓我們重新描述這個過程。
通過乙個變換或者說乘以乙個矩陣a，我們使得原來的方格紙發生了變化。變化後的結果還是乙個方格紙。 原來的一些向量大多數發生了相應的變化，但是有一些向量方向沒有發生變化只是長度發生了變化。
我們發現這個變化是有一些特點的，
其實，這個變換就是乙個特殊的對映，是乙個滿足上述兩條性質的特殊的對映。
那麼我們可以得到很多具有上面性質的變換，我們如果把每乙個變換記乙個數學符號，比如\(\mathscr,\mathscr,\cdots\)
我們想，這些元素是不是也符合線性空間的要求，組成乙個線性空間。事實上，這個變換時能夠組成線性空間的。
既然是乙個線性空間，那麼就能得到這個空間的零元素和單位元。我們一般記為\(0,\epsilon\)
同時我們還可以在這些元素的基礎上定義運算，乘法，加法，數乘，逆變換。多形式運算。
我們說，線性變換是乙個特殊的對映，那麼對於集合a（也就是定義域）在集合b（也就是值域）都會有乙個元素與之對應。
我們設有一組基為\([i,j]\),那我們記變換前的元素為\(a\),其座標在基\([i,j]\)下的座標為\((x_1,x_2)\) ，
,那麼變換後的元素\(\mathcala\)在基\([i,j]\)下的座標\((y_1，y_2)\)就有這樣的乙個對應關係
\[\left (
\begin
y_ \\
y_ \\
\vdots \\
y_ \\
\end
\right)=a
\left (
\begin
x_ \\
x_ \\
\vdots \\
x_ \\
\end
\right)\]
在一組基下，我們能夠描述乙個線性變換,這樣的乙個變換對應著乙個矩陣
\[\mathscr\varepsilon_i=\alpha_i \ \ \ \ a e =a
\]那麼我們接下來想問乙個問題，如果換一組基，這個變換會是怎樣的形式，它和原來的基下的變換有什麼關係。
首先我們有兩組基，不妨記為 \([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)和\([\eta_1,\eta_2]\)
然後我們有乙個從基 \([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)到基的\([\eta_1,\eta_2]\)過渡矩陣是\(x\)。
這裡再讓我們回顧一下過渡矩陣，這個過渡矩陣其實就是新的基\([\eta_1,\eta_2]\)在原來的基下\([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)面的座標\((a,b),(c,d)\)，我們把這個座標放在一起組成了乙個矩陣\(x\)然後我們來看一下這兩個變換，用矩陣形式表示有\[x =
\left(
\begin
a, & c\\
b , &d
\end
\right )
\]這個矩陣第一列的元素是新基\(\eta_1\)在下\([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)的座標，第二列的元素是新基\(\eta_2\)的在下的坐\([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)標
我們有\([\eta_1,\eta_2]=[\varepsilon_1,\varepsilon_2]x\)
\[\mathscr\varepsilon_i= [\varepsilon_1,\varepsilon_2]a \\
\mathscr\eta_i= [\eta_1,\eta_2] b
\]我們知道變換會保持原來元素的關係，於是變換後我們仍然有
\[\mathscr\eta_i=\mathscr\varepsilon_i x
\]用矩陣形式表示就是
\[[\eta_1,\eta_2] b= [\varepsilon_1,\varepsilon_2]a x
\]我們將基從基 \([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)到基的\([\eta_1,\eta_2]\)過渡矩陣\(x\) 的對應關係\([\eta_1,\eta_2]=[\varepsilon_1,\varepsilon_2]x\)帶入得到
\[[\varepsilon_1,\varepsilon_2]x b= [\varepsilon_1,\varepsilon_2]a x
\]可以得到
整個過程的推導關鍵在於，基向量通過線性變換後仍然存在著過渡矩陣的乙個變化關係。
如果兩個矩陣有著我們上面推導出的關係 ，即
設\(a、b\)是數域\(p\)上兩個\(n\)級矩陣，如果可以找到數域\(p\)上的\(n\)級可逆矩陣\(x\)，使得\(b=x^ax\)，就說\(a\)相似於\(b\)，記作\(a \sim b\)
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