本節討論如何選擇線性空間的基，使得線性變換在該組基下的矩陣表示最簡單。而線性變換的特徵值與特徵向量對於線性變換的研究起著至關重要的作用 。
特徵值與特徵向量具有十分鮮明的幾何意義：特徵向量x經過線性變換後方向保持不變，長度發生λ
\lambda
λ倍。嚴格的數學定義為：
設數域k上的線性空間v
nv_n
vn中有一線性變換t，對k中的某一數λ
\lambda
λ存在非零向量x∈v
nx\in v_n
x∈vn使得
t x=
λx(1
)tx=\lambda x(1)
tx=λx(
1)成立，則稱λ
\lambda
λ為t的特徵值，x為t的屬於λ
\lambda
λ的特徵向量。特徵向量不是被特徵值唯一確定的，可以存在k倍特徵向量關係。特徵值卻被特徵向量唯一確定。
nv_n
vn的一組基x1,
x2,x
3,..
.,xn
x_1,x_2,x_3,...,x_n
x1,x2
,x3
,..
.,xn
下的矩陣為a,特徵向量x在基下的座標表示為：(ξ1
,ξ2,
...,
ξn)t
(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^t
(ξ1,ξ
2,.
..,ξ
n)t
,則定義式（1）的座標表示方法為:
a [ξ
1ξ2.
..ξn
]=λ[
ξ1ξ2
...ξ
n](2
)a\begin \begin \xi_1 \\ \xi_2\\ ...\\\xi_n\\\end \end=\lambda\begin \begin \xi_1 \\ \xi_2\\ ...\\\xi_n\\\end \end(2)
a⎣⎢⎢⎡
ξ1ξ
2..
.ξn
⎦⎥⎥
⎤=
λ⎣⎢⎢
⎡ξ1
ξ2
...ξ
n⎦
⎥⎥⎤
(2)
移項可得：
( a−
λi)[
ξ1ξ2
...ξ
n]=0
(3
)(a-\lambda i)\begin \begin \xi_1 \\ \xi_2\\ ...\\\xi_n\\\end \end=0(3)
(a−λi)
⎣⎢⎢⎡
ξ1
ξ2.
..ξn
⎦⎥
⎥⎤
=0(3
)由於特徵向量x非零，所以上式的解由矩陣(a−
λi
)(a-\lambda i)
(a−λi)
的行列式確定。當det
(a−λ
i)=0
det(a-\lambda i)=0
det(a−
λi)=
0時，方程組（3）有非零解。我們稱det
(a−λ
i)=0
det(a-\lambda i)=0
det(a−
λi)=
0為a的特徵多項式，特徵多項式的零點（det
(a−λ
i)=0
det(a-\lambda i)=0
det(a−
λi)=
0的解λ
\lambda
λ）為a 的特徵值，將特徵值λ
\lambda
λ帶入方程組(3)解得的向量(ξ1
,ξ2,
...,
ξn)t
(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^t
(ξ1,ξ
2,.
..,ξ
n)t
為a對應與特徵值λ
\lambda
λ的特徵向量。
**綜上：**求乙個線性變換的特徵值與特徵向量，只需找一組基，將線性變換表成基下矩陣的形式，求該矩陣的特徵值與特徵向量即可。
依據根與係數的關係有：
特徵值的和=矩陣的跡
∑ i=
1nλi
=∑i=
1nai
i=tr
a\sum_^\lambda_i=\sum_^a_=tr a
i=1∑n
λi=
i=1∑
nai
i=t
ra特徵值的積=矩陣的行列式
π i=
1nλi
=det
a\pi_^\lambda_i=deta
πi=1n
λi=
deta
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