只有正方形的矩陣有行列式！行列式的應用概括來有三：
性質1,2,3是basic properties，用這三條性質可以計算任意乙個矩陣的行列式|a|:
性質1和2一起就可以推導出permutation matrix的行列式了
線性變換 = ①數乘，②加減
這很像長方形的邊與面積的關係：長（第一行）*2，寬（第二行）不變，面積*2（長影響一次）；長*2，寬*2，面積*4（長影響一次，寬再影響一次，每一行都會影響值！）
用性質1,2,3就能把任意矩陣的行列式拆成：一小撮卓有貢獻的permutation矩陣（秩不等0） 和 一大波吊兒郎當的無用矩陣（秩等於0） （上面第一行可以拆成三個矩陣，對這三個的每乙個拆第二行。。以此類推，可以想象拆出來的矩陣個數何其之多）
後面的性質可以從前面三條推理得到。
性質2告訴我們，交換這兩行（這裡交換了等於沒交換），行列式變號，所以只能為0∣∣
∣ac−
labd
−lb∣
∣∣=∣
∣∣ac
bd∣∣
∣+∣∣
∣a−l
ab−l
b∣∣∣
=∣∣∣
acbd
∣∣∣+
0 |abc−lad−lb|=|abcd|+|ab−la−lb|=|abcd|+0
第乙個等號來自性質3，第二個來自性質4.
elimination不會影響行列式
對這一行線性變換，值不變，由此得到只能是0。
通過性質5來消去所有非對角線元素，再將係數乙個個提取出來。
聯絡消元過程。
這個性質證明比較麻煩，略過，講講應用：
|a'|=|a| <=> |u'l'|=|lu| <=> |u'||l'|=|l||u|
這條性質讓以上對行的操作，都可以等效在列上！
a=lu，轉化為l和u之後，|a|=|l|*|u|，由於l和u都是三角矩陣，行列式好求
用性質1,2,3就能把任意矩陣的行列式拆成：一小撮卓有貢獻的permutation矩陣（秩不等0） 和 一大波吊兒郎當的無用矩陣（秩等於0） ，big formula就是這一小撮permutation矩陣：
這些矩陣的性質是：原矩陣的每一行、每一列都只留下乙個元素，構成新矩陣。挑選第一行元素有n種選法，第二行有n-1種。。一共有n!種（n的階乘），即一共有n!項需要相加。
big formula一下給出n!項一起算，實在有些不方便。cofactor 將與某個entry相乘的 factor（因子）提取出來，形成cofactor。
a去掉第i行第j列之後，剩下的部分拼起來是 aij 的余子式，記為 mij ，再乘以(-1)i+j，得到 aij 的cofactor cij= (-1)i+j * mij
幾步初等行變換之後，得到一行（or一列）零比較多的，然後再使用cofactor**：求這行（這列）的∑aij * cij=∑aij *(-1)i+j* mij
線性代數學習筆記
前置芝士 序列逆序對個數 tau a 1a 2a 3 cdots a n displaystyle sum 性質1 交換序列中相鄰的兩個數會改變原序列逆序對個數的奇偶性 性質2 交換序列中不相鄰的兩個數也會改變原序列逆序對個數的奇偶性 證明 a 1.a i.a j.a n 不斷將ai與它右邊的數字交...
線性代數學習筆記
因為博主太菜了所以需要寫筆記來加深理解。感謝隊爺 cly 對我的耐心指導。to 矩陣其實可以看成若干向量。關於這部分，引入一些奇怪的知識 說奇怪是因為我目前沒有用到過 hehezhou 給了我又一種理解矩陣乘法的方式。矩陣中的元素 a 表示從點 i 到點 j 的方案數。若是從這個角度的話就可以快速地...
線性代數學習筆記（七）
證明分兩步 與高斯消元法相比，公式法的優缺點 x的每個分量 x i 是兩個行列式的商 克拉默法則解方程組的代價比較大，需要解n 1個行列式，而解行列式是非常expensive的，因此也只有公式的價值，不能用其作為程式設計計算方法。書中是先得到cramer法則，再得到逆矩陣公式，求cramer法則的方...