在利用gauss消元法求解線性方程組的過程中，參與運算的只是其中的係數和常數項，將這些係數和常數項寫成"**"的形式來表示求解的過程，於是引入矩陣的概念。
( a11
a12⋯a
1na21
a22⋯a
2n⋮⋮
⋮⋮as
1as2
⋯asn
)(1)
\left( \begin a11 &a12 &\cdots &a1n \\ a21 &a22 &\cdots &a2n \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ as1 &as2 &\cdots &asn \end \right)\tag
⎝⎜⎜⎜⎛
a11a
21⋮a
s1a
12a2
2⋮as
2⋯⋯
⋮⋯a
1na2
n⋮as
n⎠⎟
⎟⎟⎞
(1)對矩陣所作的下述變換稱為矩陣的初等行變換：
如果矩陣a滿足下述兩個條件，則稱a是階梯型矩陣:
如果階梯型矩陣a還滿足下面兩個條件，則稱a是簡化階梯型矩陣:
設a,b都是n階方陣，則∣ab
∣=∣a
∣∣b∣
|ab| = |a||b|
∣ab∣=∣
a∣∣b
∣設a是n階方陣。若存在n階矩陣b，使得
a b=
ba=e
ab = ba = e
ab=ba=
e則稱a是可逆的，稱b是a的可逆矩陣。
設n ≥ 2。n階方陣a = (aij)nxn。記aij是a中第i行第j列元素aij的代數余子式。則稱矩陣
( a11
a21⋯a
n1a12
a22⋯a
n2⋮⋮
⋮⋮a1
na2n
⋯ann
)(2)
\left( \begin a11 &a21 &\cdots &an1 \\ a12 &a22 &\cdots &an2 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ a1n &a2n &\cdots &ann \end \right)\tag
⎝⎜⎜⎜⎛
a11a
12⋮a
1na
21a2
2⋮a2
n⋯⋯
⋮⋯a
n1an
2⋮an
n⎠⎟
⎟⎟⎞
(2)為a的伴隨矩陣,並用符號a*表示
注意,在上面的定義中，aij不是aij的余子式，而是aij的代數余子式。而且，a*中的第i行第j列元素不是aij,而是aji。
設a,b都是mxn矩陣，只要兩個矩陣的行和列的分塊方式完全一致即可。
矩陣分塊並無特殊要求，用數乘以矩陣的每乙個分塊。
設a是mxn矩陣，b是nxk矩陣，只要矩陣a的列的分塊與矩陣b的行的分塊完全一致，不管a的行與b的列如何分。
設a是mxn矩陣，對a的任意分塊方式，均有
a =(
a11a12
⋯a1t
a21a22
⋯a2t
⋮⋮⋮⋮
as1a
s2⋯a
st),
at=(
a11ta
21t⋯a
s1ta
12ta22
t⋯as
2t⋮⋮
⋮⋮a1
tta2
tt⋯a
stt)
,a= \left( \begin a_ &a_ &\cdots &a_ \\ a_ &a_ &\cdots &a_ \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ a_ &a_ &\cdots &a_ \end \right), a^t= \left( \begin a_ ^t&a_^t &\cdots &a_^t \\ a_^t &a_^t &\cdots &a_^t \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ a_^t &a_^t &\cdots &a_^t \end \right),
a=⎝⎜⎜⎜
⎛a1
1a2
1⋮a
s1
a12
a22
⋮as2
⋯⋯
⋮⋯a
1ta
2t⋮
ast
⎠⎟⎟
⎟⎞,
at=⎝
⎜⎜⎜⎛
a11
ta1
2t⋮
a1tt
a2
1ta
22t
⋮a2t
t⋯
⋯⋮⋯
as1t
as2
t⋮a
stt
⎠⎟⎟
⎟⎞,
單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣
略
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