給定 \(n\) 元一次方程組
\[\begin
a_x_1+a_x_2+\cdots+a_x_n=b_1\\
a_x_1+a_x_2+\cdots+a_x_n=b_2\\
\cdots\\
a_x_1+a_x_2+\cdots+a_x_n=b_n\\
\end
\]請求出方程組的解的情況：
對於這樣的問題，我們可以使用高斯消元法進行求解，當然高斯消元法有乙個回代的過程，**略長，而且精度較低。
所以我們隆重推出高斯-約旦消元法！！！
回顧一下我們是怎麼手算的，一般用的都是加減消元法，普通高斯和高斯-約旦用的都是加減消元。
在此之前，我們需要了解一下矩陣初等變換。
交換矩陣的兩行；
用乙個非零數 \(k\) 乘矩陣的某一行所有元素；
把矩陣的某一行所有元素乘以乙個數 \(k\) 後加到另一行對應的同一列的元素上；
類似地，把以上的行改為列便得到矩陣初等列變換的定義。
矩陣初等行變換與初等列變換合稱為矩陣初等變換。
若矩陣 \(a\) 經過有限次的初等行變換變為矩陣 \(b\)，則矩陣 \(a\) 與矩陣 \(b\)行等價；若矩陣 \(a\) 經過有限次的初等列變換變為矩陣 \(b\)，則矩陣 \(a\) 與矩陣 \(b\)列等價；若矩陣 \(a\) 經過有限次的初等變換變為矩陣 \(b\)，則矩陣 \(a\) 與矩陣 \(b\)等價。
當然列的用不著
首先有乙個由係數構成的 \(n\times n\) 的矩陣
\[\begin
a_&a_&\cdots&a_\\
a_&a_&\cdots&a_\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_&a_&\cdots&a_\\
\end
\]然後是乙個由常數構成的 \(n\times 1\) 的列向量
\[\begin
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n\end
\]把它們放在一起構成乙個 \(n\times(n+1)\) 的增廣矩陣：
\[\begin
a_&a_&\cdots&a_&\mid&b_1\\
a_&a_&\cdots&a_&\mid&b_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\mid&\vdots\\
a_&a_&\cdots&a_&\mid&b_n\\
\end
\]我們遍歷每一列，對於第 \(i\) 列選出最大的未處理過的行上的數作為主元，意味著加減消元後除了主元這一行外其他行的第 \(i\) 列都為 \(0\)。
選最大的作為主元的原因是避免精度誤差。
然後就是加減消元了。
舉個例子
\[\begin
2x-y+z=1\\
4x+y-z=5\\
x+y+z=0
\end
\]增廣矩陣就是
\[\begin
2&-1&1&\mid&1\\
4&1&-1&\mid&5\\
1&1&1&\mid&0
\end
\]先是第 \(1\) 列，選 \(4\) 為主元。
\(4\) 在第 \(2\) 行，將第 \(2\) 行與第 \(1\) 行交換。
\[\begin
4&1&-1&\mid&5\\
2&-1&1&\mid&1\\
1&1&1&\mid&0
\end
\]對於第 \(2\) 行，第一列上的 \(2\) 是 \(4\) 的 \(\dfrac\)。
\[\begin
4&1&-1&\mid&5\\
2-4\times\dfrac&-1-1\times\dfrac&1-(-1)\times\dfrac&\mid&1-5\times\dfrac\\
1&1&1&\mid&0
\end
\]化簡得
\[\begin
4&1&-1&\mid&5\\
0&-\dfrac&\dfrac&\mid&-\dfrac\\
1&1&1&\mid&0
\end
\]對第 \(3\) 行的處理同理
\[\begin
4&1&-1&\mid&5\\
0&-\dfrac&\dfrac&\mid&-\dfrac\\
0&\dfrac&\dfrac&\mid&-\dfrac
\end
\]現在到了第 \(2\) 列，未處理過的是 \(2,3\) 行，選最大的 \(\dfrac\) 為主元。
將第 \(3\) 行與第 \(2\) 行交換
\[\begin
4&1&-1&\mid&5\\
0&\dfrac&\dfrac&\mid&-\dfrac\\
0&-\dfrac&\dfrac&\mid&-\dfrac
\end
\]消元得
\[\begin
4&0&-\dfrac&\mid&\dfrac\\
0&\dfrac&\dfrac&\mid&-\dfrac\\
0&0&4&\mid&-4
\end
\]第 \(3\) 列，未處理過的是第 \(3\) 行，選 \(4\) 作主元。
\[\begin
4&0&0&\mid&4\\
0&\dfrac&0&\mid&0\\
0&0&4&\mid&-4
\end
\]這樣就把原來的矩陣通過初等變換，使得係數矩陣只有主對角線位置的元素非零，即乙個對角矩陣。
上面那個矩陣的意思是
\[\begin
4x=4\\
\dfracy=0\\
4z=-4
\end
\]所以再把係數除過去就得到
\[\begin
x=1\\
y=0\\
z=-1
\end
\]請自行檢驗。
時間複雜度為 \(\mathcal(n^3)\)。
當然方程還可能是無解或無窮多解。
考慮乙個一元一次方程 \(ax=b\) 的解的情況：
無解：\(a=0,b\ne0\)；
無窮多解：\(a=b=0\)；
唯一解：\(a\ne0\)。
所以當發現某一列的主元為 \(0\) 時，因為主元是最大的，所以意味著這一列全都是 \(0\)，那麼要麼無解，要麼有無窮多解。
p3389 【模板】高斯消元法
\(\text\)
#include #include #include typedef double db;
using namespace std;
const int maxn = 105;
int n;
db a[maxn][maxn];
bool gauss_jordan()
} if (mx != i)
if (!a[i][i])
for (int j = 1; j <= n; j++)
}} }
return true;
}int main()
} if (gauss_jordan()) }
else
return 0;
}
p2455 [sdoi2006]線性方程組
這下要具體到到底是無解還是無窮多解了。
這就是高斯-約旦的乙個缺點：相比於普通高斯，它更難判斷無解和無窮多解。
但是也是可以處理的。
具體地，我們用 \(r\) 來記錄當前行，如果主元為 \(0\)，那麼 \(\operatorname\) 到下一列，但 \(r\) 不變；否則消元後令 \(r\gets r+1\)。
遍歷完所有列後：
\(\text\)
#include #include #include typedef double db;
using namespace std;
const int maxn = 55;
int n;
db a[maxn][maxn], ans[maxn];
int gauss_jordan()
} if (mx != r)
if (!a[r][i])
for (int j = 1; j <= n; j++)
}} r++;
} if (--r < n)
}return 0;
} for (int i = 1; i <= n; i++) }
return 1;
}int main()
} int res = gauss_jordan();
if (res != 1)
else }
return 0;
}
高斯 約旦消元法
高斯 約旦消元法 此演算法是基於高斯消元的基礎上改進而成的，唯一不同之處是多進行了幾次矩陣變換使得化為行最簡型矩陣。相比於高斯消元法此方法效率較低，但是不需要回帶求解 此演算法的過程大概為 首先確定每個a i i a i i a i i 不為0 00 如果為0 00就和下面的行替換 接著將每個a i...
高斯 約旦消元法
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