高斯消去法是一種常用的求解線性方程組的方法,通過逐次消元後,在回代求解,實際計算中常用的一種方法。
順序消去法
將ax=b按照從上至下、從左至右的順序化為上三角方程組,中間過程不對矩陣進行交換,主要步驟如下。
step1:
將第2行至第n行,每行分別與第一行做運算,消掉每行第乙個引數。公式如:
形成如下圖所示新矩陣:
從新矩陣的a22開始(a22不能為0),以第二行為基準,將第三行至第n行分別與第二行做運算,消掉每行第二個引數。
公式如:
按照上述方法,當第k步運算時,公式為:
運算前後的矩陣為:
經過 n-1 步,方程組也就轉化為了我們希望得到的上三角方程組,如下:
再通過回代過程即可求解 x1至 xn 的值。
順序消去法計算量
消去過程:
回代過程:
總運算量:
順序消去法雖然程式設計操作簡單,但是存在以下兩方面限制:
(1)每次運算時,必須保證對角線上的元素不為0(即運算中的分母不為0),否則演算法無法繼續進行。
(2)即使a(kk)的值不為零,但如果絕對值很小,由於第k次運算中a(kk)在分母位置,因此作除數會引起很大的誤差,從而影響演算法的穩定性。
正是由於順序消去法會因為 a(kk) 的值過小而引入計算誤差,為了減少計算過程中捨入誤差對方程組求解的影星,因此是否可以選擇絕對值盡可能大的 a(kk) 主元作為除數,基於這種思想就有了高斯消去法的改進型:列主元消去法 和 全主元消去法。
列(全)主元消去法
基本思想:
在第k步消元錢,找出k行下所有第k列元素最大的非零元素 a(pk), 將第 p 行與第 k行進行整行交換,這樣既不影響原方程的解,也可以將絕對值最大的a(pk)作為主元,放在處暑的位置上,盡可能減小引入誤差。
全主元消除法與列主元消除法類似,只不過列主元消除法是從第k列中選取乙個最大的元素,與第k行進行交換。 而全主元消除法釋從第k行第k列開始的右下角矩陣中所有元素中選取乙個最大的元素作為主元,同時交換p行與q列,從而保證穩定性。
如下面這個列主元消去法的例子:
高斯消元法
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高斯消元法
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高斯消元法
高斯消元法。直接附 了,這個 沒有回帶的。1 writer hsz wjmzbmr tourist hzwer 2 include3 include4 include5 include6 include7 include8 include 9 include10 include11 include1...