[問題2017a01]設 $$|a|=\begin 1 & 4 & 7 & \cdots & 3n-2 \\ 1 & 5 & 9 & \cdots & 4n-3 \\ a_ & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ & a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \end,$$ 其中 $n\geq 2$, $a_$ 是 $|a|$ 的第 $(i,j)$ 元素的代數余子式. 證明: $|a|=\sum\limits_^na_$.
[問題2017a02]設 $|a|$ 為 $n$ 階行列式, 其中 $n$ 為奇數, 且 $|a|$ 的所有元素都是整數. 證明: 若對任意的 $1\leq i\leq n$, $a_$ 都是偶數, 且對任意的 $1\leq i[問題2017a03]求下列 $n$ 階行列式的值: $$|a|=\begin 1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x+x^2 & 1+x^2 & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0& \cdots & 1+x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1+x^2 \\ \end.$$
[問題2017a04]設 $a,b,c$ 均為 $2$ 階方陣, 滿足 $c=ab-ba$, $ac=ca$ 和 $bc=cb$, 求證: $c=0$.
提示證明 $\mathrm(c)=\mathrm(c^2)=0$, 由此得到 $c=(c_)$, 其中 $c_=-c_$ 且 $c_^2+c_c_=0$. 若 $c_=c_=0$, 則 $c_=c_=0$, 從而 $c=0$, 結論得證. 若 $c_\neq 0$ 或 $c_\neq 0$, 試構造非異陣 $p$, 使得 $p^cp=\begin 0 & 1\\ 0 & 0 \\ \end$, 由此證明 $p^ap$ 和 $p^bp$ 也具有簡單的形式, 最後可得矛盾.
[問題2017a05]設 $f_i(x)=a_x^n+a_x^+\cdots+a_x+a_\,(0\leq i\leq n)$, 其中 $a_\,(0\leq i,j\leq n)$ 都是整數. 設 $a=(a_)_$ 是對應的 $n+1$ 階方陣, 證明:
(1) 對任意的整數 $x$, $f_0(x),f_1(x),\cdots,f_n(x)$ 的最大公因數都要整除 $|a|$;
(2) 存在 $n+1$ 階整數矩陣 $b$ 使得 $ab=i_$ 的充分必要條件是, 存在 $n+1$ 個不同的整數 $x_0,x_1,\cdots,x_n$, 使得 $n+1$ 階矩陣 $c=(f_i(x_j))_$ 滿足 $|c|=\pm\prod\limits_ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_ \\ a_ & a_n & a_1 & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end$ 是非異陣, 試求逆陣 $a^$.
[問題2017a07]設 $a=b+c$, 其中 $b$ 是 $n$ 階實對稱陣, $c$ 是 $n$ 階實反對稱陣, 滿足 $bc=0$. 證明: 若 $a^2=0$, 則 $a=0$.
[問題2017a08]設 $a,b$ 是 2 階方陣, 若存在 2 階方陣 $p,q$, 使得 $a=pq$ 且 $b=qp$, 則記為 $a\,\sharp\,b$. 證明: 在所有 2 階方陣構成的集合中, $\sharp$ 是乙個等價關係.
提示按照行列式是否為零以及矩陣的跡是否為零來進行討論.
[問題2017a09]設 $a,b$ 是 $n$ 階方陣, 若存在 $n$ 階方陣 $p,q$, 使得 $a=pq$ 且 $b=qp$, 則記為 $a\,\sharp\,b$. 證明: 若 $n\geq 3$, 則在所有 $n$ 階方陣構成的集合中, $\sharp$ 不是等價關係.
提示當 $n=3$ 時, 用反證法, 構造簡單的矩陣得到矛盾. $n\geq 4$ 的情形可以歸結到 $n=3$ 的情形.
[問題2017a10]設 $a,b,c$ 分別為 $m\times n$, $p\times q$ 和 $m\times q$ 矩陣, $m=\begin a & c \\ 0 & b \\ \end$, 證明:
(1) $r(m)=r(a)+r(b)$ 成立當且僅當矩陣方程 $ax+yb=c$ 有解, 其中 $x,y$ 分別為 $n\times q$ 和 $m\times p$ 未知矩陣;
(2) $r(m)\leq\min\$;
(3) 試給出 sylvester 不等式和 frobenius 不等式 (***的例 3.64 和例 3.66) 等號成立的充分必要條件.
[問題2017a11]設 $a$ 為 $n$ 階實對稱陣且 $r(a)=r$, 證明: $a$ 的所有 $r$ 階主子式之和不等於零.
注本題不能用高代 ii 的方法 (特徵值和實對稱陣的正交相似標準型) 來做, 限定只能用高代 i 的方法來做, 可參考***的例 3.83.
[問題2017a12]設 $a,b,c,d$ 為 $n$ 階實方陣, $s$ 為 $n$ 階實反對稱陣, $a$ 為非零實數, 滿足 $ab=cd=ai_n+s$. 求證: $ad+b'c'$ 是非異陣.
注本題是第九屆全國大學生數學競賽預賽第四題結論的推廣. 可設 $d=bp$ 並利用線性方程的求解理論來證明.
[問題2017a13]任取 $9$ 個不同的實數 $a_1,\cdots,a_9$, 證明: 存在 $1,\cdots,9$ 的全排列 $k_1,\cdots,k_9$, 使得 $$\begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ \end\neq 0.$$
注本題可以推廣到 $n^2$ 個不同實數的情形, 請參考《迴圈矩陣的性質及其應用》.
[問題2017a14]設 $v,u$ 分別為數域 $k$ 上的 $n,m$ 維線性空間, 線性對映 $\varphi:v\to u$ 在 $v,u$ 的某組基下的表示矩陣為 $a$, 證明:
(1) 存在 $v$ 的一組基 $\$ 和 $u$ 的一組基 $\$, 使得 $\varphi$ 在這兩組基下的表示矩陣為 $\begin i_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end$, 其中 $r=r(a)$;
(2) $\mathrm\varphi=l(e_,\cdots,e_n)$, $\mathrm\varphi=l(f_1,\cdots,f_r)$, 特別地, $\dim\mathrm\varphi=n-r(a)$, $r(\varphi)=\dim\mathrm\varphi=r(a)$;
注本題給出了高代教材第 4.4 節主定理的另一證明.
[問題2017a15](1) 設 $\varphi$ 是數域 $k$ 上 $n\,(n\geq 2)$ 維線性空間 $v$ 上的線性變換, 證明: 若 $v$ 只有平凡的 $\varphi-$不變子空間, 則 $\varphi$ 必為 $v$ 的自同構.
(2) 設 $\varphi,\psi$ 是數域 $k$ 上 $2n+1\,(n\geq 1)$ 維線性空間 $v$ 上的兩個非零線性變換, 滿足 $\varphi\psi+\psi\varphi=0$. 證明: $v$ 既有非平凡的 $\varphi-$不變子空間, 也有非平凡的 $\psi-$不變子空間.
(3) 舉例說明: 當 $v$ 的維數是偶數時, (2) 的結論一般不成立.
[問題2017a16]設 $n$ 階方陣 $a$ 滿足 $a^+a+i_n=0$, 其中 $m$ 為正整數, 求證: $a^2+a+i_n$ 是非異陣, 並求其逆陣.
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問題2018a01 計算下列 n 1 階行列式的值 a begin 0 1 1 cdots 1 1 a 1 a 2 cdots a n 2 a 1 2 a 2 2 cdots a n 2 vdots vdots vdots vdots 1 n a 1 n a 2 n cdots a n n end....
復旦大學高等代數期末考試班級前幾名
2017 2018學年第二學期高等代數ii 17級 張菲諾 95 劉宇其 95 魏一鳴 93 郭宇城 92 程梓兼 91 葛珈瑋 90 汪子怡 90 餘張偉 90 張昰昊 89 朱柏青 89 2017 2018學年第一學期高等代數i 17級 郭宇城 100 魏一鳴 93 喬嘉瑋 92 劉宇其 90 ...
復旦高等代數 II（17級）每週一題
問題2018s01 1 設 a x 1,x 2,cdots,x m a x 1,x 2,cdots,x m 為 n 階方陣,其所有元素 a x 1,x 2,cdots,x m 都是關於未定元 x 1,x 2,cdots,x m 的多項式.設 h i x 1,x 2,cdots,x m neq 0 1...