[問題2018s01](1) 設 $a(x_1,x_2,\cdots,x_m)=(a_(x_1,x_2,\cdots,x_m))$ 為 $n$ 階方陣, 其所有元素 $a_(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 都是關於未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 的多項式. 設 $h_i(x_1,x_2,\cdots,x_m)\neq 0\,(1\leq i\leq k)$, $g(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 都是關於未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 的多項式, 使得當數 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 滿足 $h_i(a_1,a_2,\cdots,a_m)\neq 0\,(\forall\,1\leq i\leq k)$ 時, $|a(a_1,a_2,\cdots,a_m)|=g(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ 成立. 證明: $|a|=g(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 恆成立.
(2) 利用 (1) 給出復旦高等代數教材第 37 頁習題 1.5.5 的簡單解法.
(3) 利用多元多項式環的整性給出復旦高等代數教材第 91 頁例 2.5.2 的嚴格證明.
[問題2018s02]設 $m_n(k)$ 是數域 $k$ 上 $n$ 階方陣全體構成的線性空間, $p=\begin 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \end$, $m_n(k)$ 上的線性變換 $\eta$ 定義為 $\eta(x)=px'p$. 試求 $\eta$ 的全體特徵值及其特徵向量.
[問題2018s03]有限維線性空間上的線性變換至多只有有限個特徵值. 試構造無限維線性空間 $v$ 上的線性變換 $\varphi$, 使得 $\varphi$ 有無限個特徵值.
[問題2018s04]設 $a$ 為 $n$ 階復矩陣, $\alpha,\beta$ 為 $n$ 維復列向量, $b=a\alpha\beta'$. 試求矩陣 $b$ 可對角化的充要條件.
[問題2018s05]設 $c$ 為數域 $k$ 上的 $n$ 階方陣, 證明:
(1) $c$ 是冪零陣當且僅當 $c$ 的特徵值全為零;
(2) 若 $r(c)=1$, 則 $c$ 是冪零陣當且僅當 $\mathrm(c)=0$;
(3) 若 $\mathrm(c)=0$ 且存在數域 $k$ 上的 $n$ 階方陣 $a$, 使得 $a$ 的特徵多項式是 $k$ 上的不可約多項式, 以及 $\mathrm(ca^i)=0\,(\forall\,1\leq i\leq n-1)$ 成立, 則必有 $r(c)\neq 1$.
[問題2018s06]請僅用復旦高代教材第六章的方法和技巧證明以下問題:
(1) 設數域 $k$ 上的 $n$ 階方陣 $a$ 滿足 $a^m=i_n$, 其中 $m$ 是正整數, 證明: $a$ 在複數域上可對角化;
(2) 設 $v$ 是數域 $k$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $v$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi^m=i_v$, 其中 $m$ 是正整數. 設 $w=\$ 為 $v$ 的子空間, 線性變換 $\psi=\dfrac\sum\limits_^\varphi^i$, 證明: $\mathrm\psi=\dim w$.
[問題2018s07]設 $a$ 為 $n$ 階復矩陣, 請僅用復旦高代教材第六章的方法和技巧證明以下問題:
(1) $a$ 可對角化當且僅當 $a$ 的極小多項式無重根;
(2) 若 $a$ 滿足 $a\overline'=\overline'a$, 則 $a$ 可對角化.
注(1) 包含在復旦高代教材的推論 7.6.1 中, (2) 包含在復旦高代教材的定理 9.6.3 中.
提示請參考 16 級高代 ii 思考題 6 及其解答博文《實對稱陣可對角化的幾種證明》.
[問題2018s08]設 $v$ 是數域 $k$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $v$ 上的線性變換, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分別是 $\varphi$ 的特徵多項式和極小多項式. 如果存在 $v$ 的 $\varphi-$不變子空間 $v_1,v_2$, 使得 $$v=v_1\oplus v_2,\,\,\,\,\dim v_1<\dim v,\,\,\,\,\dim v_2<\dim v,$$ 則稱 $v$ 是 $\varphi-$可分解的, 否則稱 $v$ 是 $\varphi-$不可分解的. 證明: $v$ 是 $\varphi-$不可分解的充分必要條件是 $f(\lambda)=m(\lambda)=p(\lambda)^k$, 其中 $p(\lambda)$ 是 $k$ 上的首一不可約多項式, $k\geq 1$.
[問題2018s09]設 $v$ 是複數域上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $v$ 上的線性變換, $u$ 是 $v$ 的非零 $\varphi-$不變子空間. 設 $\lambda_0$ 是限制變換 $\varphi|_u$ 的乙個特徵值, 證明: $\varphi|_u$ 的屬於特徵值 $\lambda_0$ 的 jordan 塊的個數不超過 $\varphi$ 的屬於特徵值 $\lambda_0$ 的 jordan 塊的個數. 特別地, 若 $\varphi$ 的屬於特徵值 $\lambda_0$ 的 jordan 塊只有 1 個, 那麼 $\varphi|_u$ 的屬於特徵值 $\lambda_0$ 的 jordan 塊也只有 1 個.
注本題是 16 級高代 ii 期中考試第六大題的推廣. 請參考 17 級高代 i 每週一題第 10 題.
[問題2018s10]設 $a$ 是復迴圈矩陣, $f(z)$ 是收斂半徑為 $+\infty$ 的復冪級數, 證明: $f(a)$ 也是迴圈矩陣.
[問題2018s11]求下列實二次型的規範標準型: $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_^n|i-j|x_ix_j$.
[問題2018s12]設 $\alpha,\beta$ 為 $n$ 維非零實列向量,
(1) 證明: $\alpha'\beta>0$ 成立的充要條件是存在 $n$ 階正定實對稱陣 $a$, 使得 $\alpha=a\beta$;
(2) 判斷下列結論是否正確, 並說明理由: $\alpha'\beta\geq 0$ 成立的充要條件是存在 $n$ 階半正定實對稱陣 $a$, 使得 $\alpha=a\beta$.
[問題2018s13]設 $v$ 是實 (復) 線性空間, 若存在 $v$ 上的實值函式 $\|\,\cdot\,\|:v\to\mathbb$, 使得對任意的 $\alpha,\beta\in v$, $c\in\mathbb\,(\mathbb)$, 滿足:
(i) 非負性: $\|\alpha\|\geq 0$, 等號成立當且僅當 $\alpha=0$;
(ii) 齊次性: $\|c\alpha\|=|c|\cdot\|\alpha\|$;
(iii) 三角不等式: $\|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|$,
則稱 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $v$ 上的乙個範數. 給定範數的實 (復) 線性空間稱為賦範線性空間. 例如在內積空間 $v$ 中, 由內積 $(-,-)$ 誘導的範數為 $\|\alpha\|=(\alpha,\alpha)^}$, 因此內積空間必為賦範線性空間. 現設 $(v, \|\,\cdot\,\|)$ 為賦範線性空間, 並且範數滿足平行四邊形法則, 即對任意的 $\alpha,\beta\in v$, 滿足$$\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha-\beta\|^2=2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2,$$ 證明: 存在 $v$ 上的乙個內積 $(-,-)$, 使得其誘導的範數即為 $\|\,\cdot\,\|$.
[問題2018s14]設 $v$ 為 $n$ 維歐氏空間, $\varphi$ 是 $v$ 上的非異線性變換. 證明: $\varphi$ 保持向量的夾角不變 (即對任意的非零向量 $\alpha,\beta$, 它們之間的夾角等於 $\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ 之間的夾角) 當且僅當 $\varphi$ 保持向量的正交性不變 (即對任意正交的向量 $\alpha,\beta$, 它們的像 $\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ 也正交).
[問題2018s15]設 $a,b$ 是乘法可交換的 $n$ 階實對稱陣, 且 $a,b,a+b$ 都可逆, 證明: $$(a+b)^\neq a^+b^.$$
[問題2018s16]設 $a=(a_)$ 為 $n$ 階實對稱陣, 滿足 $a_\geq 0\,(1\leq i,j\leq n)$. 設 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 為 $a$ 的全體特徵值, 證明: 存在某個特徵值 $\lambda_j=\max\limits_|\lambda_i|$.
注本題的結論對一般的非負矩陣都成立 (即可把對稱條件去掉). 具體地, 若 $a$ 是非負矩陣 (即所有元素都大於等於零), 則譜半徑 $\rho(a)=\max\limits_|\lambda_i|$ 是 $a$ 的特徵值, 並且可取到非負向量 (即所有元素都大於等於零) 作為對應的特徵向量 (參考: horn & johnson, matrix analysis, 2nd ed., theorem 8.3.1).
復旦大學高等代數期末考試班級前幾名
2017 2018學年第二學期高等代數ii 17級 張菲諾 95 劉宇其 95 魏一鳴 93 郭宇城 92 程梓兼 91 葛珈瑋 90 汪子怡 90 餘張偉 90 張昰昊 89 朱柏青 89 2017 2018學年第一學期高等代數i 17級 郭宇城 100 魏一鳴 93 喬嘉瑋 92 劉宇其 90 ...
復旦高等代數 I（18級）每週一題
問題2018a01 計算下列 n 1 階行列式的值 a begin 0 1 1 cdots 1 1 a 1 a 2 cdots a n 2 a 1 2 a 2 2 cdots a n 2 vdots vdots vdots vdots 1 n a 1 n a 2 n cdots a n n end....
復旦高等代數 I（17級）每週一題
問題2017a01 設 a begin 1 4 7 cdots 3n 2 1 5 9 cdots 4n 3 a a a cdots a vdots vdots vdots vdots a a a cdots a end,其中 n geq 2 a 是 a 的第 i,j 元素的代數余子式.證明 a su...