來自陶哲軒小弟.
1. 計算行列式 $$\bex d=\sevm&\frac&\cdots&\frac\\ \frac&\frac&\cdots&\frac\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac&\frac&\cdots&\frac }. \eex$$
2. 二次型 $$\bex f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+\be x_3^2 -2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3 \eex$$ 的秩為 $2$.
(1) 求 $\be$;
(2) 求正交變換, 將二次型化為標準型.
3. 矩陣 $a$ 的 $n-1$ 階子式不全為零, 給出齊次線性方程組 $ax=0$ 的一組解, 並求方程所有的解.
4. $v_1,v_2$ 均是有限維線性空間, 且滿足 $$\bex \dim (v_1+v_2)=\dim (v_1\cap v_2)+1. \eex$$ 證明: 必有 $v_1+v_2=v_1$, $v_1\cap v_2=v_2$ 或 $v_1+v_2=v_2$, $v_1\cap v_2=v_1$.
5. 證明與 $a$ 交換的矩陣均可表為 $a$ 的多項式, 其中 $$\bex a=\***m. \eex$$
6. $n$ 階方陣 $a$ 的每行每列恰有乙個元素為 $1$ 或 $-1$, 其餘元素均為零. 證明: 存在 $k\in\bbn$, 使得 $a^k=e$.
7. 定義 $m_n(\bbc)$ 上的線性變換 $\scra(x)=ax-xa$, 證明 $\scra$ 的特徵值必有 $\lm_i-\lm_j$ 的形式, 其中 $\lm_i,\lm_j$ 是 $a$ 的特徵值.
8. 設 $a,b$ 是兩個 $n$ 階復方陣. 如果 $ab-ba=\mu b$, 其中 $\mu$ 是乙個非零複數. 證明:
(1) $a,b$ 必有公共的特徵向量;
(2) $a,b$ 可同時上三角化.
9. 設多項式 $g(x)=p^k(x)g_1(x)\ (k\geq 1)$, 多項式 $p(x)$ 與 $g_1(x)$ 互素. 證明: 對任意多項式 $f(x)$ 有 $$\bex \frac =\frac +\frac(x)g_1(x)}, \eex$$ 其中 $r(x),f_1(x)$ 都是多項式, $r(x)=0$ 或 $\deg r(x)<\deg p(x)$.
中國科學院大學2023年數學分析考研試題
來自poorich及 xuzheng3254321.1.20 計算極限 bex lim cdots e frac.eex 2.20 求定積分 bex i int 0 1 ln 1 sqrt rd x.eex 3.15 求二重極限 bex lim frac.eex 4.12 f x 是 a,b 的連續...
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中國科學院日地空間環境觀測研究網路
通過實時收集和解算gnss衛星觀測資料，獲得衛星訊號在400km高度上的電離層穿透點的實時分布圖 下圖 並給出各個觀測站上空不同衛星系統的電離層tec實時變化曲線 下方鏈結 採用的裝置是華測的。tec.asp?scode mhbg islatest 1 實時檢視 marginwidth 0 marg...