昨天ac
m acm
模擬的時候遇到了一道si
mpso
n sim
pson
積分相關的題
完全不知道怎麼求，我們組fi
shme
n fis
hmen
被bym bym
嘲諷了很久
於是今天下午結合各種資料還是看了一下
這個東西不要覺得它看上去講什麼積分很高階 實際上認真推導也不是很難首先s
imps
ons im
pson
積分的式子是這個東西
積分號的下標代表區間左端點，上標代表區間右端點
這個值的意思就是函式在[a
,b] [a,
b]
區間與x x
軸，x=
a' role="presentation" style="position: relative;">x=a
x=a，
x=b x=b
圍成的面積
首先引入一些東西，si
mpso
n sim
pson
積分就是用乙個二次曲線來無限逼近原曲線
來達到求得近似值的效果
首先引入乙個東西 對於乙個二次函式f(
x)=a
x2+b
x+c f(x
)=ax
2+bx
+c
求積分可得f(
x)=∫
x0f(
x)dx
=a3x
3+b2
x2+c
x+d f(x
)=∫0
xf(x
)dx=
a3x3
+b2x
2+cx
+d
在這裡d
d
是乙個常數 這個東西具體怎麼證等我問了物理組的同學再來填坑那麼∫
lrf(
x)dx
=f(r
)−f(
l)' role="presentation" style="position: relative;">∫rl
f(x)
dx=f
(r)−
f(l)
∫lrf
(x)d
x=f(
r)−f
(l)∫
rlf(
x)dx
=a3(
r3−l
3)+b
2(r2
−l2)
+c(r
−l) ∫lr
f(x)
dx=a
3(r3
−l3)
+b2(
r2−l
2)+c
(r−l
)∫rl
f(x)
dx=(
r−l)
[a3(
l2+r
2+lr
)+b2
(l+r
)+c]
∫ lr
f(x)
dx=(
r−l)
[a3(
l2+r
2+lr
)+b2
(l+r
)+c]
∫rlf(x)
dx=b
−a6(
2al2
+2ar
2+2a
lr+3
bl+3
br+6
c)∫ lr
f(x)
dx=b
−a6(
2al2
+2ar
2+2a
lr+3
bl+3
br+6
c)
∫rlf(x)
dx=b
−a6 ∫lr
f(x)
dx=b
−a
6∫rl
f(x)
dx=b
−a6[
f(l)
+f(r
)+4f
(l+r
2)] ∫lr
f(x)
dx=b
−a6[
f(l)
+f(r
)+4f
(l+r
2)
]就這樣證完了… 然後我們來考慮這個**怎麼實現
double simpson(double a, double b)這樣子直接計算我們發現誤差非常大，畢竟原影象可能不能很好的用二次函式逼近
自適應simpson積分
那怎麼辦呢，我們可以考慮模擬微分的過程，把區間分成無窮小份再把得到的答案積分就是最後的答案了
但是一般我們只要求乙個近似值，所以我們就遞迴到滿足正常誤差即可
還有乙個問題 每次遞迴下去都有精度誤差，那麼累加起來可能就和正確答案相差甚遠了
這個時候我們可以在遞迴的時候提高精度要求，盡量讓小的答案精確這樣就可以了
在劉汝佳的**中判斷是這樣寫的
double _asr(double l, double r, double v, double eps)裸的模板題
這個就不用講了 套板子即可
codes
#include
using
namespace
std;
typedef
double db;
const db eps = 1e-6;
db a, b, c, d;
db f(db x)
db integral(db x1, db x2)
db simpson(db x1, db x2, db eps)
int main()
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