昨天群裡討論標題的問題
實矩陣酉相似是否等價於正交相似？我在這裡找到了答案。第一步是證明如下引理。
$a$和$b$正交相似，當且僅當$a$和$a^\mathsf$同時實相似到$b$和$b^\mathsf$。這裡$\mathsf$表示轉置。方便起見，用$'$表示轉置。一面是簡單地。另一面，假設$pap^=b$, $pa'p^=b'$，於是$pap^=(p')^ap'$, 故$p'pa=ap'p$, 而此時$p'p$是正定的，假設是$p'p=v'd^2 v$, 其中$v$是正交矩陣，$d$對角線上都是正數。此時$p(v'dv)^$是正交的，記為$q$，並記$v'dv=o$，換言之$p=qo$。此時$a$和$o^2$交換，注意到利用langrange插值，$d$是$d^2$的多項式，所以$a$和$o$也交換。總而言之，此時帶入$pap^=b$，立刻得到$qaq^=b$，得證。
同樣的手法，我們可以證明如下定理。
$a$和$b$酉相似，當且僅當$a$和$a^\mathsf$同時復相似到$b$和$b^\mathsf$。這裡$\mathsf$表示共軛轉置。另外注意到如下事實
如果實矩陣$a_1,a_2$同時在$\mathbb$上相似到$b_1,b_2$，那麼也同時在$\mathbb$上相似到$c,d$。這是因為如果$(p+iq)a_k(p+iq)^=b_k$, $k=1,2$，即$pa_k=b_kp, qa_k=a_kq$，於是某個$p,q$的線性組合$ p+\lambda q$一定可逆，否則考慮行列式，作為多項式始終為$0$，這說明多項式本身是$0$（這裡利用了$\mathbb$是無限域），這與在$\mathbb$上有根矛盾。
以下一些評注
（所以krull-schmidt定理是乙個很強的定理）
矩陣的等價，相似，合同
矩陣等價 定義 對同型矩陣a b，存在可逆陣p和q，使得b paq 充要條件 a和b的秩相等 兩個矩陣對應著兩個不同的線性變換，但是這兩個線性變換作用在同乙個向量上得到的結果是一樣的，則這兩個矩陣等價。即兩個不同空間的同乙個線性變換之間是等價關係。空間不同，基不同 綜上所述，矩陣等價包含矩陣相似和矩...
矩陣論筆記（四） 酉空間與酉變換
酉空間是定義在複數域上的內積空間。由於在複數中，i2 1 為了使內積為正，需要在轉置中加入了共軛的操作。這是酉空間與實數域的歐氏空間的主要區別。二者有一套平行的理論。1 酉空間 複數域上的 v 定義兩向量到複數的對應關係 x y 滿足交換律 x y y,x 分配率 齊次性 k x,y k x y 但...
合同相似可逆等價矩陣的關係及性質 行列式的性質問題
行列式的學習一方面要掌握計算行列式的一般方法 對性質要理解。考點與要求 了解 行列式的概念 方陣的乘積 行列式的性質 掌握 行列式的性質 會用 行列式的性質和行列式按行 列 展開定理計算行列式。行列式的計算 1 對於二階行列式，直接用對角線法 2 對於三階行列式，可以有對角線法 初學者可以用這個方法...