酉空間是定義在複數域上的內積空間。
由於在複數中，i2
=−1 ，為了使內積為正，需要在轉置中加入了共軛的操作。這是酉空間與實數域的歐氏空間的主要區別。二者有一套平行的理論。
（1）酉空間：複數域上的
v 定義兩向量到複數的對應關係 (x
,y)，滿足交換律（(x
,y)=
(y,x
)⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯ ）、分配率、齊次性（(k
x,y)
=k(x
,y) ，但 (x
,ky)
=k⎯⎯
(x,y
) ）、非負性，稱為內積，
v 稱為復內積空間或酉空間；
（2）正規矩陣：a∈
cn×n
且 aha
=aah
。易知正交陣、酉矩陣、對角矩陣、實對稱矩陣、hermite 矩陣都是正規矩陣；
（3）譜分解：由以下定理三，對於 hermite 矩陣
a ，存在酉矩陣 p使
phap
=λ。所以 a=
pλph
=λ1(
p1ph
1)+⋯
+λn(
pnph
n)；
（4）對應關係：① 共軛轉置 →對
應 轉置，② hermite 變換 →對
應 對稱變換，③ hermite 矩陣 →對
應 對稱矩陣，④ 酉變換 →對
應 正交變換，⑤ 酉矩陣→對
應 正交矩陣。
（1）定理一：由內積定義，可直接得到： ① (
x,ky
)=k⎯
⎯(x,
y). ② (
x,0)
=(0,
x)=0
. ③ (
∑ni=
1ξix
i,∑n
i=1η
iyi)
=∑ni
=1ξi
η⎯⎯i
(xi,
yi) .
④ 模：∥x
∥=(x
,x)‾
‾‾‾‾
√ .
⑤ 三角不等式：(x
,y)(
y,x)
≤(x,
x)(y
,y) ，僅當 x,
y 線性相關時等號成立.
⑥ 夾角：
cos2
y>=(x
,y)(
y,x)
(x,x
)(y,
y)，當 (x
,y)=
0 時稱二者正交/垂直.
⑦ 正交化：任意線性無關向量組可通過 schmidt 正交化方法正交化.
⑧ 正交基：任意非零酉空間都存在正交基和標準正交基.
⑨ 直和：任意 vn
均為其子空間 v1
與 v⊥
1 的直和.
⑩ 酉變換：(x
,x)=
(tx,
tx)(
x∈v)
. ⑪ 酉變換充要條件：
t 是酉變換的充要條件是對任意 x,
y都有 (x
,y)=
(tx,
ty) .
⑫ 酉矩陣：酉變換在酉空間的標準正交基下的矩陣是酉矩陣，即 ah
a=aa
h=i .
⑬ 酉矩陣運算：酉矩陣的逆矩陣、乘積仍是酉矩陣.
⑭ hermite 變換：(t
x,y)
=(x,
ty)(
x,y∈
v)，也稱為酉對稱變換.
⑮ hermite 矩陣：hermite 變換在標準正交基下的矩陣為 hermite 矩陣，即 ah
=a.
⑯ 特徵值：hermite 矩陣的特徵值都是實數.
⑰ 特徵向量正交：hermite 矩陣的不同特徵值的特徵向量必定正交.
注意：(x,
y)與 (y
,x) 互為共軛。
（2）定理二：（schur 定理）① 任一復矩陣必酉相似於三角陣，對角元素為其
n 個特徵值，② 任一實矩陣必正交相似於三角陣，對角元素為其
n個特徵值；
（3）定理三：① a∈
cn×n
，則 a酉相似於對角陣的充要條件是
a為正規矩陣，② a∈
rn×n
，且
a 的特徵值都是實數，則
a正交相似於對角陣的充要條件是
a 為正規矩陣；
（4）推論一：實對稱矩陣正交相似於對角矩陣；
（5）推論二：設
t是歐氏空間的對稱變換，則 vn
中存在標準正交基使
t 在該基下的矩陣為對角陣。
（1）證明定理三：必要性略。充分性，由定理二知
a酉相似於三角陣 ph
ap=b
，帶入 bh
b=bb
h 得除對角元素外均為零，即
a 酉相似於對角陣；
（2）證明推論二：注意到
t在某基下的
a 正交相似於對角陣即 qt
aq=λ
，取過渡矩陣為
q 換到另一組基即可。
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