對兩個矩陣a,b，最硬的關係就是「相等」，a=b。相等就是矩陣裡的每乙個元素「一模一樣」。無論a,b是幾維的，也不論它們秩是多少，只要元素都一一相同，就是相等。
不過，構成矩陣的基本單位不是元素，是向量，嚴格講是列向量，所以，矩陣相等的定義就是每個對應位置的向量都是相等的(行向量也必然相等了)。
「對應位置」很重要，同樣的幾個向量，位置排序不同，就是不同的矩陣了。所以，同一組向量，可以搭成不同的矩陣，向量對排序沒講究，矩陣是對排序很較真的同一組向量。
扯遠了，拉回來。「相等」這種關係鐵硬，很容易懂，也就沒啥說頭了。
另乙個關係是可以互表(相互線性表達)。比如對於矩陣a,b，若有可逆矩陣x，使：b=ax(b被a表)，並a=bx⁻¹(a被b表)，則a,b就是可互表的了。這個比相等關係要「間接」一些。是你我雖不等，但你我相互在對方的張成的空間裡，是「相互包含」的關係。雖不可同好的跟乙個人似的，但咱們可以相互罩著麼。
若a,b是兩個同階滿秩矩陣，則不管長啥樣，裡面元素多少不同，互表關係是必定的，「相互包含」就是必然的，也就沒啥說頭了。
但若a,b不滿秩(但同秩)，那有沒有這個「相互包含」的關係就不一定了，各種差別就出來了，就可以說道說道了。我們在這裡的要聊的重點是：若沒了「相互包含」的關係，它們有啥更退一步(不那麼親密)的關係麼？有的，就是等價的關係。
我們以乙個3階秩2為例。秩2表示矩陣只能張成乙個平面子空間，a矩陣張成乙個，b矩陣張成另乙個。滿秩時，a,b必可互表，就是必然有「相互包含」的關係(各自都張成3維維空間，自然相互包含)，但秩為2了，若a,b張成的平面不重合，a,b就不能互表了，就相互不能包含了。
沒有包含關係了，那有沒有乙個再退而求其次的關係呢，就像沒有相等關係，但可以相互包含麼。有的，那就是「等價」關係。
下面來聊「等價」關係。等價關係是一種「弱化」了的互表(包含)關係，但它不是矩陣之間的直接互表，而是乙個矩陣可以線表另乙個矩陣在本平面的「影子」，而本矩陣在那個矩陣平面上也有可被那乙個矩陣線表的影子。本尊與影子之間的互表(包含)關係，就是等價關係。
咋說？來，看公式。
若對矩陣a,b，有可逆矩陣p,q，使得b=paq，則a,b等價。是這麼說的吧？好，如果a,b滿秩，必可有b=aq和a=bq⁻¹，可互表的。對吧？這時，令p=i，則b=iaq和a=ibq⁻¹是必定有的，妥妥的等價關係式。
所以，a,b滿秩，必定有互表關係，也必定有等價關係。那麼，如果a,b等秩，但不滿秩，它們也必定有等價和互表關係麼？
先上答案：若有互表關係，就必定有等價關係，此處解說與滿秩時類似。但若沒有互表關係(兩矩陣不在乙個平面裡)，等價關係一般還是有的，但在乙個特殊狀態下就沒有了(最後這話有錯，後有訂正20201009)。
怎麼講？上公式！從b=paq可以得到：
p⁻¹b=aq,和pa=bq⁻¹，設y=aq，x=bq⁻¹，就有y=x
y是啥？是a矩陣以q為係數組合出來的乙個矩陣，y就一定是在a平面裡的乙個矩陣了。從另外一邊看，又有y=p⁻¹b，這裡，y是以p⁻¹為基，以b為係數組合出來的乙個矩陣，它又在a平面上(不是在b平面上噢)。看出「幾何」關係來了了沒有？p⁻¹把b投影到了a平面上，這個投影被a線性組合(線表)出來了。
而在x=bq⁻¹裡，則是a被p「投影」到了b平面上，然後投影被b線表出來了。
a,b各自所在的平面不重合，不能互表，但它們能相互把對方在自己平面上的投影給線表出來，本尊之間不能互表，但本尊能線表對方在本方主場的「影子」，這就是不滿秩矩陣之間的等價關係。
這裡說過兩種情況了：能互表時必然等價，不能互表時，也是等價。還有一種情況，既不能互表，也不能等價(看訂正，此話錯)。
啥情況？前面說了，等價就是可以相互線表對方的「影子」。那如果沒有影子呢？當然就沒啥等價關係了。咋才會沒影子呢？就是這個平面上的線條投影到另乙個平面上啥也沒有唄，都是零了(看訂正，此話錯)。咋才會出現這樣的情況呢？
對頭！兩個平面垂直(正交)了唄。a,b平面正交了，你就咋也找不到p,q來幫你辦事，讓a,b相互投影了，人家垂直著呢，哪投的出啥影啊？(看訂正，此話錯)
不滿秩時才論等價關係，此時，等價就是相互有投影。投影是一種幾何關係吧？投影幾何。
相等：a=b，好的跟乙個人似的。這個關係一旦確定，則與秩的大小無關。
互表：b=aq，a=bq⁻¹，雖然不能融為一體，咱們相互罩著。若滿秩，必能互表，；若非滿秩，則必須都處在同乙個子空間裡才能繼續互表。
等價：b=paq，咱們天各一方(不滿秩時，處在不同的空間裡)，但我罩著你的影子，你罩著我的影子。等價關係是普遍的，a,b即便不滿秩，又不在乙個子空間裡，它們可以頑強地保持等價關係。
但萬一它們所處的各自子空間「正交」的話，那就都沒影了，就「兩處茫茫都不見」，就罩(等價)不成了(看訂正，這句話錯)。
本解說可能是首創。你若看見過，請知會一聲，免得文主孤陋寡聞，沾沾自喜，自得之中，貽笑大方。
(改來還去的，或有重複的表達。能明白就好，勿嫌囉嗦。之後或還會更新，認知和表達都要與時俱進麼)。
訂正20201009：
a與b即使正交，b中向量在a平面上還有有投影的，因為在b中的向量並不是都與a垂直的，b中向量的所有投影都在b與a交的直線上，其中只有與a垂直的那個「直線」上的向量們在a上的投影才為零。
所以，只要b與a等秩，a,b等價是普適的，不存在特殊的a,b相對位置使得a,b不等價的情況出現。
為啥做訂正，但不去掉之前的錯？這可以把思考中的錯誤展示一下，事各位看清：原來還可以這樣錯。
如果你細心，之前就可以看出破綻。比如，兩個平面正交，「投影」就是零，這句顯然錯。**是零，明明是直線麼，b平面與a正交並不意味著b中的向量都與a垂直麼。實際上b中的向量絕大部分都不與a垂直，只有在與a垂直的那根直線上的向量才在a上的投影為零，這根直線就是齊次性方程組ax=0的非零解系所在的空間啊。
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