先簡單介紹一下一般實矩陣的qr分解是什麼；
再是原始碼，不過這次的c++原始碼是教材上的，提前說明，才五十幾行**就實現了一般實矩陣的qr分解，精煉且巧妙，若是我來寫肯定是辦不到這麼簡潔的，正如《c++ primer》裡作者所提倡的簡潔是一種美德，這些**簡直就可以修身齊家治國平天下了；
然後再執行這個程式，得到結果，到後面再仔細地分析這個演算法的過程（我自己清楚了，可能表達上也會無法傳達，因為可能部落格這東西更多的可能是寫給自己看的······）。
知道什麼是一般實矩陣的qr分解了，就給出原始碼，按照函式的觀點，輸入的引數是乙個矩陣，這裡實際上是二重指標，直接在函式體裡面將矩陣的分解結果在黑框框裡列印出來，以下是原始碼，以及執行的結果：
#includeusing namespace std;
//接下來把一般實矩陣的qr分解按函式的形式稍稍改寫一下，輸入是一般mxn實矩陣a，以及矩陣的行數m列數n，輸出是qr形式的正交矩陣和上三角矩陣的乘積，
void maqr(double ** a, int m, int n)//進行一般實矩陣qr分解的函式
alpha = 0.0;
for (i = k; i <= m - 1; i++)
if (a[k][k] > 0.0) u = -u;
alpha = u * sqrt(alpha);
if (fabs(alpha) + 1.0 == 1.0)
u = sqrt(2.0*alpha*(alpha - a[k][k]));
if ((u + 1.0) != 1.0)
//左乘矩陣q，迴圈結束後得到乙個矩陣，再將這個矩陣轉置一下就得到qr分解中的q矩陣
//也就是正交矩陣
for (j = k + 1; j <= n - 1; j++)
//h矩陣左乘a矩陣，迴圈完成之後，其上三角部分的資料就是上三角矩陣r
a[k][k] = alpha;
for (i = k + 1; i <= m - 1; i++) a[i][k] = 0.0;
} }for (i = 0; i <= m - 2; i++)
for (j = i + 1; j <= m - 1; j++)
//qr分解完畢，然後在函式體裡面直接將q、r矩陣列印出來
for (i = 0; i> m >> n;
double** a = new double* [m];
for (int i = 0; i < m; i++)a[i] = new double[n];
cout << "輸入矩陣a的每乙個元素" << endl;
然後更仔細地分析矩陣的qr分解：
先用自然語言說一遍，自然語言講究傳神，傳達最大的輪廓，用我的理解來說一遍：一般實矩陣的qr分解，q是正交矩陣，r是上三角矩陣，給定乙個mxn的實矩陣，列向量線性無關，所以就可以分解成mxm的正交矩陣，和mxn的上三角矩陣。
最重要的一步，就是找到n-1個初等反射矩陣h把a對角線以下的列向量全部化成單位向量（或是其倍數，方向由原向量中的最大的元素的符號所決定），這樣乘乙個h矩陣就把相應的一列對角線以下元素化成了0，這個a矩陣有n列，就要求n-1個這樣的h矩陣，然後是不斷左乘a矩陣，直到最後成了乙個上三角矩陣，也就是所求的上三角矩陣r，那麼q矩陣呢？q矩陣的就是所有h矩陣的累乘得到的矩陣，最後再求逆，不過，好在這些正交矩陣相乘仍然是正交矩陣，所以只要把這些累乘得到的矩陣轉置一下就是q矩陣；
然後結合圖再說一遍：
矩陣qr分解的過程，就是找到n-1個初等反射矩陣h，然後左乘a矩陣，使得紅線所圈住的向量全部化成只有首元素不為0的單位向量（或是其倍數，，，），寫成公式就是：
這就是矩陣的qr分解。可見，其中最關鍵的就是初等反射矩陣h，要根據原向量找到這麼乙個初等反射矩陣h，將原向量對映成乙個與僅首元素不為0的單位向量平行的向量，那麼怎麼找h矩陣呢？
設向量w滿足w**置）w=1，則矩陣h=i-2ww**置），就是初等反射矩陣h，也有乙個比較有逼格名稱，叫豪斯霍爾德變換，這個矩陣寫完整就是：
所以只要向量u非零，那麼矩陣：
也是初等對映矩陣，畢竟就是係數的問題嗎，很容易理解，那麼怎麼根據原向量，來找到這麼乙個特殊的矩陣？
這個矩陣有非常重要的幾何意義，那就是乙個向量經過這個矩陣的作用，得到乙個新向量，新舊向量是鏡面對稱的，鏡面就是w向量的法平面，所以就有這麼乙個約化定理，對於非零向量x，總是存在這麼乙個初等反射矩陣，將其對映成單位向量，即hx=-a（1,0,0···，0）；
這個a就是單位向量的倍數，數值就是x向量的模，剛剛也說了新舊向量是鏡面對稱的，自然向量長度是相等，然後根據向量x計算得到u向量，大小就是原向量的模，方向和x中元素最大的那個方向一致進而得到h矩陣的公式如下：
所以在本次程式設計中的第一步，就是計算h矩陣。因為要計算n-1個這樣的h矩陣，所以接下的**都是寫在乙個k從1~n-1的迴圈裡面的（教材這裡的u和上面的向量w是一樣的，而與上面的模不是1的u向量有區別）。
是的，計算公式有點複雜，理解也有點難度，不過抓住h矩陣的幾何意義就很好理解了，我怕說太多反而會造成誤解，所以就直接上圖了，σ是原向量的模，ρ是和h計算公式中的β是意義一樣的，目的就是得到模為1的u向量，所以就是乙個係數的問題。
然後是不斷用h矩陣左乘q（q矩陣的初始值就是乙個單位矩陣），所以就相當於h矩陣自身的不斷累乘，最後轉置這個矩陣就得到了正交矩陣q，這也是這段**比較吊詭，也是最巧妙的地方，縱使求了這麼多遍h矩陣，**中自始至終都沒有出現儲存h矩陣的資料結構，上面的截圖也提示了，計算h矩陣，是通過計算u向量的，她計算出u向量，直接將u向量的元素，u1，u2，，，這些元素賦值給a矩陣的相應的位置，然後進行左乘q，公式如下：
這樣賦值的結果，竟然和左乘h矩陣的公式是一樣的，筆者用紙筆驗證過了，哈哈哈，其實能夠這樣寫，而不按照矩陣乘法公式寫的原因主要還是h矩陣的特殊性造成的，畢竟是對稱的正交矩陣，這樣的矩陣很特殊了；（2333333~，若是我來寫這個演算法的話，我估計還要老老實實儲存一下h矩陣）
接著，再左乘a矩陣，同樣的公式：
迴圈了n-1次之後最後得到乙個矩陣不是乙個上三角矩陣，但是她的對角線以上的資料就是r的資料，因為剛剛也說了對角線一下的資料是用於計算h矩陣的u向量的資料，至於最後不斷累乘之後，成了什麼樣，也不需要關注了，只要把累乘後的矩陣的對角線以上的部分提取出來就可以了。
這樣在乙個大迴圈裡就完成了一般實矩陣的qr分解啦~
哎呀呀呀，感覺沒講清楚啊，哈哈哈~
這麼大段的文字，結果道理又沒講清楚，真是哭笑不得了，下次還是不寫這麼大段的文字了，估計還是自己太懶了~
兩本教材是《數值分析第五版》，以及《常用演算法程式集-c++語言描述（第四版）》（清華大學出版社），這兩本書學習起來，絕搭。
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