第二十九課時：相似矩陣和若爾當形
本講介紹相似矩陣，兩個矩陣相似意味著什麼。
正定矩陣
回顧上講內容，正定矩陣有 xt
ax>0
，也可直接通過特徵值，主元或者行列式來做判斷。
假設a是乙個正定矩陣，它是乙個對稱矩陣，那麼a的逆矩陣也是對稱的，而且，a的逆的特徵值等於原矩陣特徵值的倒數，如果能判斷原矩陣是正定的，那麼它的逆也能確定是正定的。
如果a,b都是正定矩陣，那麼a+b也是正定的。證明：已知xt
ax>0，xt
bx>0，那麼xt
(a+b)x>0。
實際上大量的物理問題需要用長方形矩陣描述。
正定矩陣從何而來？它來自最小二乘法。最小二乘的關鍵在於矩陣at
a，可證明它是乙個正定矩陣。
假設有長方矩陣am×n，那麼at
a是對稱矩陣。 x
t( ata
)x = (
ax)t
(ax) = |
ax|2
>
= 0，當ax為零向量時等式等於0，
ax=0
，如何保證a的零空間裡只有零向量？
當a各列線性無關，rank(a)=n時，零空間只有零向量。此時，at
a是正定的，最小二乘方程將存在最優解。
正定性把以前的內容都串聯起來。現在要進入線性代數最核心的內容了。
相似矩陣
a和b是兩個n×n方陣，如果存在某個可逆矩陣m，使得：b=m
-1 am，那麼a和b是相似的。
其中任意兩個互為相似的矩陣滿足上述等式。
假設a有無關的特徵向量，通過特徵向量矩陣s，有：s-1
as=λ，
那麼a相似於
λ。對角陣是這類矩陣（互為相似矩陣）中最與眾不同的。它是這類矩陣裡面最簡潔的乙個。矩陣a的所有相似矩陣裡面，
λ是最好的，還有許多其他矩陣與a相似。我們可以用任意的可逆矩陣m代替s,都得到乙個新的矩陣，這個新的矩陣與a相似。那麼a與其他所有的相似矩陣的共同點是什麼？
性質1）相似矩陣具有相同的特徵值；（注意特徵向量並不相同）
具有相同特徵值的一類矩陣，兩個矩陣之間由乙個可逆m聯絡起來，這類矩陣裡面最特殊的就是對角陣
λ。為什麼
相似矩陣具有相同的特徵值？
有ax=λx，假設λ是a的特徵值，那麼a mm
-1x=λx，等式兩邊同時乘以
m-1，m
-1a mm-1
x=λm-1x，同時有
b=m-1am，所以前面的式子化為：bm-1
x=λm-1x，此等式表明λ是b的乙個特徵值。由此也可得性質2.
性質2）b=m
-1am， b的特徵向量等於m的逆乘以矩陣a的特徵向量；
對角陣λ是a的最簡單特殊的相似矩陣，
λ的特徵向量為(1 0),(0 1)。
有一種壞情況
當矩陣a有重複的特徵值，那麼意味著a的特徵向量會共線，矩陣可能無法對角化。
假設a的特徵值：
λ1=λ2=4，a=([4 0],[0 4])，那麼m
-1 am仍舊為a，這樣的對角矩陣是單一的一類矩陣，它的相似矩陣只有自己。
另一種情況，如上，下部分，λ1=λ2=4，這是乙個無法對角化的矩陣，它可以找到一類矩陣與它相似，如果把右上角的元素換成10或者其他的數，也是一樣的能找到相應的m使之與其相似，但右上角是1的特徵值重複的三角矩陣稱為
若爾當標準型jordan form。
若爾當標準型是最接近對角陣的乙個，但又不完全對角化。
對於之前無法對角化的矩陣，都可以通過某種特殊方法，完成近似的「對角化」。如果想要對角化任何矩陣，則必須學習這種方法。
另一類相似矩陣：他們的跡和行列式相等。比如下面的，他們的特徵值相等，且所有的特徵值都是重複的。
另一類矩陣，若爾當認為它們並不是相似的。
如下第乙個矩陣，λ1=λ2=λ3=λ4=0，特徵向量為整個零空間，零空間是二維的。如果把第一行的第三個元素改為7，特徵值仍然相等，特徵向量個數仍然相等，修改過的矩陣和原先的矩陣相似，但因為之前的矩陣很美觀，所以選擇前者。注意對角線上的1，每增加乙個1，特徵向量就減少1個。
第二個矩陣,4個特徵值仍然全為0，特徵向量的個數為2，但若爾當認為第二個矩陣並不相似與第乙個矩陣。第乙個矩陣由3×3的矩陣和1×1的矩陣若爾當塊組成，第二個矩陣由兩個2×2的分塊組成，這些分塊稱為若爾當塊。
因為若爾當塊大小不一樣，所以若爾當認為兩個矩陣並不相似。
若爾當塊：ji表示i階的若爾當塊，它只有乙個重複的特徵值，對角線上全是λi，下面是0，上面是1，它的對角線上都是同乙個數，只有乙個特徵向量。即，每個若爾當塊只有乙個特徵向量。
若爾當陣j：由若爾當塊構成的矩陣，特徵值位於對角線上，對角線上方有若干個1，若爾當塊的數量等於特徵向量的個數，因為每一塊對應於乙個特徵向量。
若爾當定理：每個方陣a都相似於乙個若爾當陣j。如果方陣a有n個互不相同的特徵值，那麼它是乙個可對角化的矩陣，對應的若爾當陣就是對角陣λ，j=
λ，d=n 。
若爾當研究了所有情況，包含特徵值重複的情況，此時特徵向量的個數變少，這就是若爾當的理論。
線性代數導論2 矩陣消元
線性代數導論2 矩陣消元 第二課時 矩陣消元 本課時的目標是用矩陣變換描述消元法。核心概念是矩陣變換。一 消元法 消元法 將主對角線上的主元固定 0不能做主元 把主元下面的元素消為0。過程 先完成左側矩陣的消元 變成上三角矩陣 再回代運算右側向量，最後即可求出解完成整個消元過程 matlab也是先計...
線性代數08 矩陣的相似與矩陣的冪（相似對角化）
從本節開始，就不再關注線性方程組的解的結果或者具體的解如何求出。而是開始轉而去關注矩陣的一些性質和拓展內容，這一節我將會介紹矩陣相似的概念。以及這個矩陣的相似的意義。先觀察以下公式 若存在可逆矩陣p，使得乙個關於矩陣a的等式如下成立 a pdp 1 a pdp a pdp 1 我們稱符合這樣關係的的...
線性代數導論3 乘法與逆矩陣
第三課時 乘法與逆矩陣 本課時先講解矩陣乘法運算，然後是逆矩陣 一 矩陣乘法 5種方法 am n bn p cm p，a列必須等於b的行數 1 常規方法，行列點乘法 c ab，c中的第i行j列結果來自a的第i行向量與b的第j列向量的點乘。整行整列的進行。2 列方法，整列考慮，列的線性組合方式 b的乙...