從本節開始，就不再關注線性方程組的解的結果或者具體的解如何求出。而是開始轉而去關注矩陣的一些性質和拓展內容，這一節我將會介紹矩陣相似的概念。以及這個矩陣的相似的意義。先觀察以下公式：
若存在可逆矩陣p，使得乙個關於矩陣a的等式如下成立：
a =(
pdp−
1)
a=(pdp^)
a=(pdp
−1)我們稱符合這樣關係的的矩陣a與d是相似的記作a~d
則a的冪可以通過求矩陣d的冪求得
a m=
(pdp
−1)m
=(pd
p−1)
(pdp
−1)(
pdp−
1)..
...(
pdp−
1)=(
pdmp
)a^=(pdp^)^=(pdp^)(pdp^)(pdp^).....(pdp^)=(pd^p)
am=(pd
p−1)
m=(p
dp−1
)(pd
p−1)
(pdp
−1).
....
(pdp
−1)=
(pdm
p)因此，對於矩陣a的冪的求解，就轉化為了對乙個a的相似矩陣d的求解。若我們能夠得出d是乙個很簡單的矩陣，例如對角矩陣，那麼是不是就可以很簡單的計算a的冪值呢？答案是肯定的。
剛剛說到，能夠通過等式
a =(
pdp−
1)
a=(pdp^)
a=(pdp
−1)找到可逆矩陣p，使得這個等式對於矩陣a和對角矩陣d成立就好了。這樣一來，我們的問題就變成了，如何去找到乙個這樣的可逆矩陣p，使得經過以上等式成立呢，但是在找到這個可逆矩陣之前，我們必須要確定，矩陣a是可以進行對角化的（這個過程可以看成，我們需要找到一條路去對角化a，但是我們必須先確定這條路是存在的）
下面證明：
若存在：
d =(
p−1a
p)
=>pd
=ap=
>a(
a1,a
2...
..an
)=(a
1,a2
....
.an)
d=
>(a
a1,a
a2..
...a
an)=
(λ1a
1,λ2
a2..
...λ
nan)
其中λ是
對角矩陣
對角線上
的常數項
。d=(p^ap)\\=>pd=ap\\=>a(a_,a_.....a_)=(a_,a_.....a_)d\\=>(aa_,aa_.....aa_)=(\lambda_a_,\lambda_a_.....\lambda_a_) \\ \ \\其中\lambda 是對角矩陣對角線上的常數項。
d=(p−1
ap)=
>pd
=ap=
>a(
a1,
a2.
....
an)
=(a1
,a2
...
..an
)d=
>(a
a1,
aa2
....
.aan
)=(
λ1a
1,λ
2a2
...
..λn
an
)其中λ
是對角矩
陣對角線
上的常數
項。這樣一來，若要使得上述等式成立，則若能夠有n個這樣的線性無關的列向量
( a1
,a2.
....
an
)(a_,a_.....a_)
(a1,a
2..
...a
n)使得：
a ai
=λia
iaa_=\lambda_a_
aai=λ
iai
成立。
所以我們可以得出結論，若n階矩陣a能夠相似於對角矩陣d的充要條件就是：存在n個線性無關的列向量，以及存在n個數，使得aai
=λia
iaa_=\lambda_a_
aai=λ
iai
成立。
矩陣與線性代數（二）
既然行列式是描述線性變換的一種方式，行列式是方陣a的乙個函式，簡寫為det a 或者 a 取值為乙個標量。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣 行列式就是行列式中的行或列向量所構成的超平行多面體的有向面積或有向體積 或者，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是乙個線性變...
線性代數 矩陣的逆
關於矩陣的逆有很多性質和定理，例如，可逆矩陣一定是方陣 滿秩矩陣 非奇異矩陣，可逆矩陣的行列式的值不為零等等。在證明乙個矩陣是不可逆矩陣時，strang教授講了一種幾何的思路 根據可逆矩陣的定義，如果方陣a b i mathbf mathbf mathbf a b i，則a mathbf a和b m...
線性代數筆記（特徵問題與矩陣相似）
1 一元多項式，多項式，第i次項係數，常數項，首項，首項係數，n次多項式，零次多項式，零多項式，多項式相等，多項式的加減 2 多項式的向量表示法 向量的元素代表多項式的係數，次數隱含在元素的順序上，比如f x x 2 2x 1 可表示為 1,2,1 n次多項式是乙個具有n 1個分量的向量.3 多項式...