一、函式極限的概念
函式極限的引入
數列:xn = f(n)
lim n->∞ xn=a : 當自變數n取正數而無限增大時,f(n)無限接近於確定的數a
函式的極限:在自變數的某個變化過程中，如果對應的函式值無限接近於某個確定的數，那麼這個確定的數就叫做在一變化古城中的函式的極限
自變數變化的兩種情況:
1.自變數x任意地接近於有限值x0(記作x->x0) 對應地函式值f(x)地變化情形
2.自變數x地絕對值|x|無限增大(記作x->∞) 對應地函式值f(x)的變化情形
自變數變化的過程:x->x0 f(x)->a 稱a是f(x)當x->x0時的極限
f(x)無限接近於a
|f(x)-a|可以任意小
|f(x)-a|>
x無限接近於0
x->x0
0是某個正數 是以 為半徑 x0點的去心鄰域
自變數趨於有限值時函式的極限
如果對於任意給定的正數 (不論他多麼小
·總存在正數 使得對於適合不等式0
·所對應的函式值f(x)都滿足不等式|f(x)-a|<
·那麼常數a就叫做函式f(x)當x->x0時的極限
記作 f(x) = a 或f(x)->a(當x->x0)
注意·注1:函式極限與f(x)在x0是否有定義無關
·注2: 與任意給定的正數
·注3:找到乙個 ，它體現了x接近x0的程度
二、函式極限例題與單側極限
單側極限
定理:ó f(x0+0) = f(x0-0) =a
左右極限存在但是不相等 函式極限不存在
自變數趨於無窮大時函式的極限
·如果對於任意給定的正數 (不論他多麼小)
·總存在著正數x 使得對於適合不等式|x|>x的一切x
·所對應的函式值f(x)都滿足不等式|f(x)-a|<
·那麼常熟a就叫做f(x)當x->∞的極限
記作或f(x)->a(當x->∞)
三、函式極限 的性質
1.唯一性
定理:如果limx->x0f(x)存在 那麼此極限唯一
2.區域性有界性
如果limx-x0 f(x) = a那麼存在常熟m>0和δ>0 使得當
03.區域性保號性
定理:如果lim x->x0 f(x) = a 且a>0(或a<0) 那麼存在常數δ>0 使得當0
f(x)>0(或f(x)<0)
4.函式極限與數列極限的關係
定理:如果limx->x0 f(x)存在,為函式f(x)的定義域內任一收斂於x0的數列 且滿足xn≠x0 那麼響應的函式值數列必收斂,且limn->∞f(xn) = lim x->x0 f(x)
2.區域性有界性
如果limx-x0 f(x) = a那麼存在常熟m>0和δ>0 使得當
03.區域性保號性
定理:如果lim x->x0 f(x) = a 且a>0(或a<0) 那麼存在常數δ>0 使得當0
四、小結
高等數學 極限
設為數列，當 為正整數 趨於無限小 總有數字n，n n,使得 xn a 公式 習題 設 q 1,證明等比數列1,q,q 2,lql n 1 的極限是0 答 假設.極限是0，則 xn 0 ln q n 1 1 ln ln q 故，當n 1 ln ln q n n時，就有 lim n q n 1 0 極...
高等數學 函式 極限 連續
題型二 多項式求和 題型三 間斷點的判別 題型四 證明數列極限的存在性 1 七種不定型極限 零比零 一的無窮次方 無窮比無窮 零乘無窮 無窮減無窮 零的零次方 無窮的零次方。2 拿到乙個題的第一步應該是判斷屬於哪種不定型求極限，再動手。3 遇到x不趨近於零的極限，一般要用到換元，常見的通過sin，c...
攻克高等數學極限
存在 不存在 不存在 存在 不存在 不一定 不存在 不存在 不一定 begin lim sqrt n n 1 lim sqrt n a 1 end begin alpha 1 backsim x ln backsim frac arctan sin 當 frac 1 int 0 x f t dt b...