存在 +- 不存在 = 不存在
存在 *÷ 不存在 = 不一定
不存在 +-*÷ 不存在 = 不一定
\[\begin
& \lim_\sqrt[n]n=1 \\
& \lim_\sqrt[n]a=1 \\
\end
\]\[\begin
& \alpha-1\backsim \\
& x-\ln \backsim\frac \\
& \arctan<\sin
當 \(\frac=1\)，\(\int_0^x f(t)dt \backsim \int_0^x g(t)dt\)
等價無窮小代換原則：
乘除關係可以隨便換
加減關係一定條件下可以換（原則就是代換後的結果加減不能為0）
若 \(\alpha\backsim\alpha_1\,,\beta\backsim\beta_1\)，且 \(\lim \frac=a\neq\)，則 \(\alpha-\beta\backsim\alpha_1-\beta_1\)
若 \(\alpha\backsim\alpha_1\,,\beta\backsim\beta_1\)，且 \(\lim \frac=a\neq\)，則 \(\alpha+\beta\backsim\alpha_1+\beta_1\)
略\[\begin
& e^x = 1+x+\frac+\cdots+\frac+o(x^n) \\
& \sin = x-\frac+\cdots+(-1)^\frac} \\
& \cos = 1-\frac+\cdots+(-1)^n\frac+o(n^2n) \\
& \ln = x-\frac+\cdots+(-1)^\frac+o(x^n) \\
& \frac = 1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \\
& \frac = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n \\
\end\]略
略略略核心思想：消去分母中的 0 因子
常用操作
洛必達等價無窮小代換
泰勒公式
常用方法：
洛必達分子分母同時除以各項中最高端的無窮大
常用方法：
化為 \(\frac 或 \frac\)
可以把 0 進行無窮小替換
常用方法：
（分式差）通分化變成 \(\frac 或 \frac\)
（根式差）根式有理化變成 \(\frac 或 \frac\)
提取無窮因子，變成 \((1+x)^\alpha-1\) 的形式
最好的方法：
寫成標準形式：\(原式=\lim}}\)
求極限：\(\lim=a\)
寫結果：\(原式=e^a\)
常用方法：
\(\lim}=\lim^}}\)
注意數列極限中的 n 需要改成 x才能使用洛必達或其他方法，因為 n 是離散點，x 是連續點
夾逼定理
定積分定義
注：當變化部分相對於主要部分為次量級，用夾逼；當變化部分相對於主要部分為同量級，用定積分定義
夾逼定理
取對數化為 n 項和
先證 \(\\)收斂（單調有界準則）
利用等式 \(x_=f(x_n)\) 兩邊取極限求出 a
證明 \(\\) 單調方法：
\(x_-x_n\)
\(\\) 不變號，且 \(\frac}\geq(\leq)\)
通過 \(f(x_n)\) 單調性判斷：
\(f(x_n)\) 單調增，\(x_1\leq\)，\(\\) 單調增
\(f(x_n)\) 單調增，\(x_1\geq\)，\(\\) 單調減
\(f(x_n)\) 單調減，\(\\) 不單調，只能用方法二
先利用遞推等式求出 a，然後假設 \(\lim_ x_n = a\)
然後利用遞推關係證明 \(|x_n-a| < b|x_-a|\)，其中只要 \(b\in(0,1)\)
最後利用遞推式證明 \(0<|x_n-a|，得證
看到 \(\frac\)，可以考慮倒代換
無窮大 + 無窮大，低階無窮大可以忽略；無窮小 + 無窮小，高階無窮小可以忽略
\(x\to-\infin\) 時，除以 \(-x\) 可以避免因子出現正負問題
遇到非 0 因子一定要先求出，然後提出來
\(}^x \implies }^\)
\[\]
\[\]
高等數學 極限
設為數列，當 為正整數 趨於無限小 總有數字n，n n,使得 xn a 公式 習題 設 q 1,證明等比數列1,q,q 2,lql n 1 的極限是0 答 假設.極限是0，則 xn 0 ln q n 1 1 ln ln q 故，當n 1 ln ln q n n時，就有 lim n q n 1 0 極...
高等數學 數列的極限
本部落格目前階段記錄的數學相關的知識，是為了學習機器學習而準備的，所以可以很明顯的感覺到數學的實用性和數學的魅力。但從另一側面來說，本部落格記錄的數學知識是不完整的，也是不成體系的，也沒有深挖相關知識的來龍去脈，只是本人覺得機器學習中需要某些數學知識的時候，就記這些知識，夠用就可以了。所以，並不適合...
高等數學 函式 極限 連續
題型二 多項式求和 題型三 間斷點的判別 題型四 證明數列極限的存在性 1 七種不定型極限 零比零 一的無窮次方 無窮比無窮 零乘無窮 無窮減無窮 零的零次方 無窮的零次方。2 拿到乙個題的第一步應該是判斷屬於哪種不定型求極限，再動手。3 遇到x不趨近於零的極限，一般要用到換元，常見的通過sin，c...