第二十一課時：特徵值和特徵向量
對方陣的特徵值和特徵向量做講解，矩陣的特徵值和特徵向量會反映出矩陣的重要資訊，後面的課將講解特徵值和特徵向量的應用以及為什麼需要特徵值和特徵向量。
特徵向量和特徵值概念
ax，矩陣a的作用就像輸入向量x，結果得到向量ax（就像乙個函式，微積分中的函式表示作用在數字x上得到f(x)），擴充套件至多維，矩陣a作用在乙個向量x上，得到向量ax，我們感興趣的，
變換前後方向一致的向量，對多數向量而言方向是不一致的，但有特定的向量能使ax平行於x，這些就是特徵向量。
ax=λx，滿足這個方程的向量是a的特徵向量，ax平行於x，方向相同或相反。
x就是矩陣a的特徵向量，λ就是特徵值。
考慮若 λ=0，那麼ax=0，當a是奇異矩陣，即可以把某個非零向量轉化為0向量（當a為奇異矩陣時，必有乙個特徵值是0）。
考查 投影矩陣p，投影矩陣的特徵向量和特徵值有哪些？
哪些向量的投影和它們本身在乙個方向上。正好已經落在平面上的向量。任意平面上向量x就是乙個特徵向量px=x，特徵值λ=1。再考慮垂直於平面的向量x，px=0x，λ=0。所以投影矩陣的特徵值是0和1，所以
投影矩陣的特徵向量是平面內的向量和垂直於平面的向量。
考查 置換矩陣a的特徵值
置換矩陣a交換向量x(x1,x2)元素的位置，那麼交換後的向量(x2,x1)怎麼才是和初始向量(x1,x2)同一方向呢？
當x1=x2時就是乙個特徵向量（1,1），ax=x，λ=1。
當x1=-x2時，ax=-x，特徵向量(1,-1)，λ=-1。
注意到兩個特徵向量的點積是0，兩個特徵向量垂直。
特徵值的性質
對於方陣n×n矩陣有n個特徵值，特徵值λ的和等於對角線元素和，這個和數叫跡。例如上面置換矩陣的跡為0.
求解ax=λx中特徵值λ和特徵向量x
ax=λx
(a-λi)x=0
以上式子，當x為非零向量時，要使等式滿足，則：
a平移λi的矩陣(a-λi)必須是奇異矩陣，否則唯一的x必須是零向量或者矩陣是零矩陣。奇異矩陣的行列式等於0，
det(a-λi)=0，它叫做特徵方程或者特徵值方程，可以求得λ的值。那麼思路就是首先由特徵值方程解出λ（λ的值有可能有重複的值），然後（a-λi）已知，那麼就是求奇異矩陣的零空間了，消元就可得到特徵向量。
例子：求如下對稱矩陣a的特徵向量和特徵值
有如上性質：
特徵值λ的和等於對角線元素和，這個和為跡，那麼式中一次項係數6λ中6就是跡，常數項8就是矩陣a的行列式。求出特徵值後，特徵向量就是對應奇異矩陣零空間的解。
問題：如上矩陣a1是如下矩陣a1=a2+3i，這對特徵值和特徵向量有何影響？如果對已有矩陣做變動，特徵值和特徵向量會如何變化？
結果：a1=a2+3i，a1的特徵值相對於a2的特徵值分別加了3，特徵向量不變。如果矩陣加上3i，那麼它的特徵向量不變，特徵值加3。
給定矩陣ax=λx，那麼 (a+3i)x=ax+3ix=λx+3x=(λ+3)x，特徵向量x是a和(a+3i)共同的特徵向量。
已知矩陣a有ax=λx，矩陣b有特徵值α，by=αy，那麼a+b的特徵值和特徵向量是怎樣的？
（a+b）的特徵向量和特徵值一般與a不同，除非b是單位矩陣的倍數。
求解 正交矩陣q（旋轉矩陣，因為它相對於單位陣旋轉了，形狀和大小不變）qx=λx中特徵值λ和特徵向量x。
矩陣q是將每個向量旋轉90°，q為(cos90°, sin90°),(- sin90°, cos90°)，跡trace：0+0=λ1+λ2，λ1*λ2=1。方程並沒有實數解，但有複數解λ1=i，λ2=-i（
共軛複數：兩個實部相等，虛部互為相反數。這兩個複數互為共軛，一對共軛複數），這是完全實矩陣的特徵值。
哪些向量旋轉90°後還和自己平行？
如果矩陣是對稱的或者接近對稱的，那麼特徵值就是實數；
如果矩陣越不對稱（反對稱矩陣qt=-q），那麼特徵值越可能為純虛數。
求解三角矩陣a的特徵值和特徵向量
三角矩陣的特徵值就在對角線上，對角線上的元素就是特徵值。
對應的特徵值就是λ1=λ2=3， 特徵向量的求解過程中，就是求這個a-λi的零空間，可得到零空間的一組基。在零空間中找到乙個向量x1(1 0)，找另外乙個向量x2的時候與x1不要共線，結果是沒有這樣的x2，這是乙個
退化矩陣（a2×2），只有乙個方向上的特徵向量，不是兩個，這對重複的特徵值是可能的。
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