平行的向量用方程來表示比較簡單：
其中a是方陣，x≠0。λ是乙個係數，被稱為特徵係數或特徵值；x和λx平行，方程的解x就是a的特徵向量。
這裡需要對「方向相同」做出一些特殊的解釋，它也包括正好相反的方向和無方向，所以λ的值可以取0或負數。
現在的問題是，給定矩陣a，如果求解a的特徵向量？這裡沒有ax = b這樣的方程，只有ax=λx，其中λ和x都是未知數，如何求解呢？在解釋之前，先看看投影矩陣的特徵向量。
假設有個乙個平面，給定投影矩陣p，投影矩陣的特徵向量有哪些？特徵值又是什麼？
這實際上是在回答那些向量的投影和向量本身平行，像下面這樣隨意投影肯定不行：
x在平面的投影是px，二者的方向不相同，因此圖中的x不是p的特徵向量。
如果x正好在平面上，那麼它的投影就是x本身，所以位於平面上的所有向量都是p的特徵向量，此時特徵值λ=1，px=x （ax=λx, a=p, λ=1）。此外，垂直於平面的向量在平面上的投影是零向量，即px = 0 = 0x （ax=λx, a=p, λ=0），這相當於特徵值λ=0，所以垂直於平面的向量也是p的特徵向量。
再看乙個特例：
a乘以什麼樣的向量將得到乙個同方向的向量？即a的特徵值和特徵向量是什麼？
很容易看出：
a還有其它的特徵值：
上面的答案符合兩個關於特徵值的性質：
n×n矩陣有n個特徵值。
矩陣的所有特徵值之和等於該矩陣的主對角線元素之和，這個和數叫做a的跡。
現在到了面對ax=λx的時候，弄清楚如何求解λ和x。
解決的方法是將λx移到等式左側：
更進一步，可以利用λx = λix將λ向量化，變成：
複習一下零空間，對於ax = 0來說，如果a的各列是線性無關的，意味著方程組只有乙個全零解。把這句話放到新方程中，如果(a-λi) 的各列是線性無關的，意味著只有乙個解，x=0。但是特徵向量不能是零向量，所以需要新方程還有其它解，這意味著(a-λi) 的各列是線性相關的，即a-λi是乙個奇異矩陣。由於奇異矩陣的行列式是0，因此可以得到結論：
這就沒x什麼事了，得到了乙個關於λ的方程，該方程叫做特徵方程或特徵值方程。可以根據特徵方程先求解出λ，當然，對於n階方陣會求出n個λ。知道λ後就容易多了，把每個λ代入(a-λi)x=0，然後找出它的零空間。（關於零空間，可參考《線性代數筆記12——列空間和零空間》）
來看乙個示例：
先求解a的特徵值：
a的跡是所有特徵值之和，它等於主對角線元素之和，這可以用來作為特徵值求解的初步驗證。接下來求解每個特徵值對應的特徵向量：
容易判斷零空間的基是：
這也是特徵值λ1對應的特徵向量，實際上零空間中的所有向量都是λ1對應的特徵向量。
用同樣的方法求出λ2對應的特徵向量：
值得注意的是，特徵值未必是實數，比如下面的矩陣：
此時特徵值是複數，λ=±i
召喚乙個矩陣a：
找出a，a2，a-1的特徵值和特徵向量。
先看簡單的，求解a的特徵值比較容易：
第一列中有兩個0，所以將這個行列式以第一列展開：
三個特徵值之和等於a的主對角元素之和。
接下來求解特徵值：
方程的一組解就是特徵向量：
接下來求出另外兩個特徵向量：
找出對應的零空間，先化簡為行階梯矩陣：
當x3 = 1時，將得到一組特徵向量：
繼續計算λ3的特徵向量：
當x3 = 1時，將得到一組特徵向量：
接下來計算a2的特徵值，這將是個浩大的工程，我們更想讓它變得容易一點，已知ax=λx，現在將a再左乘乙個a變成a2：
等式的源頭是ax=λx，假設x是已知的，它已經被求得，因此這個式子告訴我們，如果已知a的特徵向量，那麼它也是a2的特徵向量，只不過特徵值換成了λ2。
類似地，a-1x也可以做一些演變：
a-1的特徵值就是1/λ，，它的特徵值和a的特徵值相同。
出處：
線性代數 21特徵值和特徵向量
這節課將講解課程中很大的主題，還是對方陣而言，討論特徵值和特徵向量，下一節課講解應用。給定矩陣 a 矩陣作用在向量上，矩陣 a 的作用就像輸入向量 x 結果得到向量 ax 就像乙個函式，微積分中的函式表示作用在數字 x 上得到 f x 矩陣就是一種變換。在這些 x 向量中，我們比較感興趣的是變換前後...
線性代數導論21 特徵值和特徵向量
第二十一課時 特徵值和特徵向量 對方陣的特徵值和特徵向量做講解，矩陣的特徵值和特徵向量會反映出矩陣的重要資訊，後面的課將講解特徵值和特徵向量的應用以及為什麼需要特徵值和特徵向量。特徵向量和特徵值概念 ax，矩陣a的作用就像輸入向量x，結果得到向量ax 就像乙個函式，微積分中的函式表示作用在數字x上得...
線性代數精華 矩陣的特徵值與特徵向量
今天和大家聊乙個非常重要，在機器學習領域也廣泛使用的乙個概念 矩陣的特徵值與特徵向量。我們先來看它的定義，定義本身很簡單，假設我們有乙個n階的矩陣a以及乙個實數 lambda 使得我們可以找到乙個非零向量x，滿足 ax lambda x 如果能夠找到的話，我們就稱 lambda 是矩陣a的特徵值，非...