基本概念有 n
階方陣
a，非零
n 維列向量
α，若存在數
λ ，使得關係式 aα
=λα
成立，那麼稱
λ 為矩陣
a 的乙個特徵值，對應
α 就是特徵向量。設 n
階矩陣 a=
(aij
)，那麼行列式 |λ
e−a|
=∣∣∣
∣∣∣λ
−a11−
a21⋮−
an1−
a12λ−
a22⋮−
an2⋯
⋯⋮⋯−
a1n−
a2n⋮
λ−an
n∣∣∣
∣∣∣
稱為特徵多項式，而 |λ
e−a|
=0就是特徵方程，方程的根就是矩陣
a 的特徵值。
總結起來就是
矩陣的跡（trace）定義為矩陣對角線元素的和，記做 tr(λ 是矩陣
a 的乙個特徵值
⇔ 存在非零向量
α ，使得 aα
=λα⇔
|λe−
a|=0
a)=a
11+a22
+⋯+a
nn基本性質
設方陣
a 的特徵值為
λ，則有
方陣特徵值
方陣特徵值ka
kλaa
+be aλ
+ba2
λ2f(
a)f(
λ)a−
1 1λ
a∗|a
|λ而且這些矩陣的特徵量都是一樣的。
對於矩陣
a ，屬於不同特徵值的向量線性無關；若
λ 是
k 重根，那麼屬於該特徵根的特徵向量至多有 k個。
計算特徵值與特徵向量
要求解特徵值，直接解特徵方程即可，然後帶入到原始矩陣裡，得到的基礎解系就是特徵向量。
基本概念和性質設 a
,b都是
n 階方陣，如果存在
n階可逆矩陣
p ，使得 p−
1ap=
b 則稱矩陣
a 和
b 相似，記做 a∼
b 。能和對角矩陣（即除了對角線上的元素其他元素都為零的矩陣）相似的矩陣，稱作可對角化矩陣。
如果兩個矩陣相似，那麼這兩個矩陣的特徵多項式、特徵值、跡、行列式和秩全部都相同。反之則不成立。定理：
n 階方陣
a相似於對角矩陣的充要條件是
a 有
n 個線性無關的特徵向量（即 a的
k 重根有
k個線性無關的特徵向量）即 a
可對角化 ⇔
λi為 ki
重根，則屬於 λi
的線性無關的特徵向量的個數 n−
r(λi
e−a)
=ki
當然暴力一點，如果有
n 個不同的特徵根，則
a相似於對角矩陣。反之卻不成立。
矩陣的相似對角化的步驟
求解特徵方程 |λ
e−a|
=0，可以得到所有不同的特徵值 λ1
,...
,λm 對每個特徵值 λi
，求對應的線性無關的特徵向量
若矩陣
a 可以對角化，所有線性無關的特徵向量可以構成可逆矩陣
p ，使得 p−
1ap=
λ=⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢λ
1⋱λ1
⋱λm⋱
λm⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
對角矩陣
λ 中空白的部分為
0 .
實對稱矩陣的相似對角化
特徵值都是實數，且矩陣的轉置等於本身的矩陣稱作是實對稱矩陣，還有下面的性質
實對稱矩陣的
k重特徵值恰好對應
k 個線性無關的特徵向量。
定理：
n階實對稱矩陣
a 正交相似於對角矩陣，即存在正交矩陣
q ，使得 q−
1aq=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎢λ
1λ2⋱
λn⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
⎥ 求解正交矩陣
q 的步驟：
1. 求出
a 的特徵值
2. 求解每個特徵值對應的 (a
−λie
)x=0
的基礎解系，在 schmidt 正交化，單位化。
3. 把上面正交化，單位化後的向量，構成正交矩陣 q
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