傅 裡 葉 級 數
設ft(t)是以t為週期的實值函式，且在[-t/2,t/2]上滿足狄利克雷條件，即f(t)在[-t/2,t/2]上滿足
（1）：連續或只有有限個第一類間斷點
（2）：只有有限個極值
則在ft(t)的連續點處有
$$f_t\left( t \right) =\frac+\sum_^\,\, \text1
$$其中
$$\omega _0=\frac
\\a_n=\frac}\int_}^}
f_t\left( t \right) \cos n\omega _0tdt\,\, \left( n=0,1,2... \right)\\
\end}
\\b_n=\frac}\int_}^}
f_t\left( t \right) \sin n\omega _0tdt\,\, \left( n=1,2,3... \right)\\
\end}
$$在ft(t)的間斷點處，式1的左端為
$$\frac\left[ f_t\left( t+0 \right) +f_t\left( t-0 \right) \right]
$$將其代入式1，即可得到ft(t)的傅利葉展開式。
由於正弦函式和余弦函式可以統一的由指數函式表出，因此可以得到另一種更簡潔的形式，由尤拉公式可知
$$\cos n\omega _0t=\frac\left( e^+e^ \right) \,\,, \sin n\omega _0t=\frac\left( e^-e^ \right)
$$代入式1可得
$$f_t\left( t \right) =\frac+\sum_^e^+\frace^ \right)}\,\, \text2$$令
$$c_0=\frac,c_n=\frac,c_=\frac\,\, \left( n=1,2,... \right)
$$可得
$$f_t\left( t \right) =\sum_^\,\, }\text2
\\c_n=\frac\int_^dt\,\, \left( n=0,\pm 1,\pm 2,... \right)}\,\, \text3
$$我們稱1式為傅利葉級數的三角形式，式2為傅利葉級數的復指數形式。工程上一般採用後一種形式。
傅 裡 葉 變 換
傅利葉變換是積分變換中最常見的一種變換，他既能化簡運算（如求解微分方程，化卷積為乘積），又具有非常特殊的物理意義。但是傅利葉級數要求被展開的級數必須是週期函式，而在實際問題中，遇到的大都是非週期函式。
因此可以將非週期函式f(t)看成是乙個週期無窮大的週期函式，即非週期函式f(t)的週期為（-∞，+∞）。
傅利葉積分定理：如果f(t)在[-∞,+∞]上的任一有限區間滿足狄氏條件，且在（-∞，+∞）上絕對可積，那麼由2式和3式可得
$$f\left( t \right) =\lim_ f_t\left( t \right) =\lim_ \sum_^\int_^d\tau} \right]}e^\,\, \text4
$$式4稱為傅利葉積分公式或者傅利葉積分表示式。
傅利葉變換：從式4出發，令
$$f\left( \omega \right) =\int_^dt}\,\, \text5
\\\textf\left( t \right) =\frac\int_^d\omega}\,\, \text6
$$式5稱為傅利葉變換，式6稱為傅利葉逆變換
傅利葉級數與傅利葉變換
法國數學家傅利葉發現，任何週期函式都可以用正弦函式和余弦函式構成的無窮級數來表示 選擇正弦函式與余弦函式作為基函式是因為它們是正交的 後世稱傅利葉級數為一種特殊的三角級數，根據尤拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅利葉級數為一種指數級數。傅利葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函式表示成三角函式 ...
傅利葉級數與傅利葉變換總結
1.連續週期訊號 fs 將乙個連續週期訊號用無數個復指數訊號的線性組合來表示 指數形式 或者說表示成無數個正弦與余弦訊號的疊加 三角函式形式 用傅利葉級數的係數來表示頻譜，頻譜是離散非週期的。對比 離散週期訊號 dfs 道理同上，得到離散週期性的頻譜。2.連續非週期訊號 ft 看作是連續週期訊號，週...
傅利葉變換與傅利葉級數（複習筆記）
筆者覺得一開始輕視了這個概念的重要性，殊不知這次感悟加深一層就是由這個開始的。大二學的時候總是把三角和指數形式的黁混，概念模糊不清，造成似懂非懂，較真的時候也不敢確認。實際上對於週期訊號而言只有傅利葉級數展開，對於非週期訊號而言只有傅利葉級數。對於乙個週期訊號 非任意 可以通過若干個三角函式的線性組...