如上圖所示，傅利葉級數的思想是把乙個週期函式 分解成一系列的三角函式： f(
t)=a
0+∑n
=1∞a
nsin(n
ωt+ϕ
) 其中原函式f(
t)的週期t=
2πω 。應該說，傅利葉是個天才，能夠想到用無數個三角函式來表示任意的週期函式。但傅利葉認為，式子右邊一大堆的函式，其實都是最簡單的正弦函式，有利於後續的分析和計算。當然，這個式能否成立，關鍵是級數中的每一項都有乙個未知係數，如a0
, an 。如果能把這些係數求出來，那麼上式就能成立。
於是乎，傅利葉對上式做了如下變形(三角函式和差化積公式)： an
sin(nω
t+ϕ)
=ansin(ϕ
)cos(n
ωt)+
ancos(ϕ)
sin(nω
t)其中，an
,sin
(ϕ),
cos(ϕ)
都是常數，令an
=ansin(ϕ
) , bn
=ancos(ϕ
) , a0
=2a0
， 這樣，原式就可以寫為： f(
t)=a
02+∑
n=1∞
[ancos(n
ωt)+
bnsin(nω
t)]
這個公式就是通常形式的三角級數，接下來的任務就是要把各項係數an
和bn 及
a0用已知函式f(
t)來表達出來。
題外話，看到這裡不禁讓我想起了泰勒展開式。雖然其思想上有相似的地方(都是將乙個函式展開成無數項)，但是本質上卻又是不同的。傅利葉級數是將乙個週期為
t 的函式展開成無數個以
t為基礎週期的三角函式，而泰勒級數則是將乙個在x0
處n階可導的函式展開成n個(x
−x0)
n 的多項式。
我們已經得到： f(
t)=a
02+∑
n=1∞
[ancos(n
ωt)+
bnsin(nω
t)](
1)對上式的左右兩邊同時從[−
π,π]
進行積分(也可以從[x
0,x0
+t] 進行積分，這裡只是為了簡單起見):∫π
−πf(
t)=∫
π−πa
02+∫
π−π∑
n=1∞
[ancos(n
ωt)+
bnsin(nω
t)]=
∫π−π
a02+
0=a0
2∗2π
=a0π
上式右邊第二項積分為0是因為三角函式的正交性，即在乙個週期內的積分為0。故通過移項得： a0
=1π∫
π−πf
(t)d
t 這樣就得到了a0
的表示式，下面需要求an
和bn 的表示式。
對(1)式左右兩邊同乘
cos(kω
t)再對其進行積分，得：∫π
−πcos(kω
t)f(
t)=a
02∫π
−πcos(kω
t)dt
+∑n=
1∞[a
n∫π−
πcos(k
ωt)cos(n
ωt)d
t+bn
∫π−π
cos(kω
t)sin(nω
t)dt
] 由三角函式正交性可知，右邊式子的第一項和第三項在乙個週期內積分為0(可由三角函式積化和差公式進行推導)，而右邊的第二項，即an
∫π−π
cos(kω
t)cos(nω
t)dt
，只有在k=
n 的時候，積分才不為0： an
∫π−π
cos(kω
t)cos(nω
t)dt
=an2
∫π−π
(cos((
k+n)
ωt)+
cos((k
−n)ω
t))d
t=an
2∫π−
π(cos(2n
ωt)+
1)dt
=an2
∗2π=
anπ
從而有： an
=1π∫
π−πcos(n
ωt)f
(t)d
t 同理可得： bn
=1π∫
π−πsin(n
ωt)f
(t)d
t 至此，我們就推出了傅利葉級數的表示式，對於更一般的形式，只要將積分下限換成x0
,積分上限換成x0
+t,其中t=
2πω ，
π 換成2t
就可以了。
傅利葉級數還有另外一種複數表示的形式，其本質上跟前一種表達方式沒有任何區別，不過其形式上更為簡潔。下面給出其具體的推導過程。
通過前面一節的介紹，我們已經得到傅利葉級數表示式如下： f(
t)=a
02+∑
n=1∞
[ancos(n
ωt)+
bnsin(nω
t)]
an=1
π∫π−
πcos(n
ωt)f
(t)d
t bn
=1π∫
π−πsin(n
ωt)f
(t)d
t 帶入尤拉公式(可參考我另外一篇博文
尤拉公式)，可得： f(
t)=a
02+∑
n=1∞
[an−
jbn2
ejnω
t+an
+jbn
2e−j
nωt]
令c0=a02
, cn=
an−j
bn2 , c−
n=an
+jbn
2 ， 則： f(
t)=c
0+∑n
=1∞[
cnej
nωt+
c−ne
−jnω
t]=∑
n=−∞
∞cne
jnωt
下面就是求cn
的表示式。將an
和bn 的值(上節中得到的結果)帶入cn
=an−
jbn2
, c−n
=an+
jbn2
中，並且用尤拉公式進行展開，可以得到： cn
=12π
∫π−π
f(t)
e−jn
ωtdt
,c−n
=12π
∫π−π
f(t)
e−j(
−n)ω
tdt,
(n=1
,2,3
,...
) 統一起來，可以得到最終的cn
表示式： c0
=a02
,cn=
12π∫
π−πf
(t)e
−jnω
tdt,
(n=±
1,±2
,...
) 參考:
傅利葉級數
微積分 總結自課本基礎知識 三角函式與正交性 特別注意三角函式系1,cosx sin x,co s2x,sin2 x,cos nx,s innx 在區間 上正交，指的是該函式系中任何兩個不用的函式積在 上的積分為0.這是乙個很奇妙的特性，特別驗證一下。給定的是對稱區間，因此，如果被積函式是奇函式，則...
傅利葉級數
傅利葉 fourier 級數是三角級數 每項都是三角函式 的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函式項之積在 pi,pi 上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的乙個正交系。傅利葉級數可以擬合很多週期函式。三角函式系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin n...
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