傅利葉級數

傅利葉（fourier）級數是三角級數（每項都是三角函式）的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函式項之積在$[-\pi,\pi]$上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的乙個正交系。傅利葉級數可以擬合很多週期函式。

三角函式系

$1,\cos x,\sin x,\cos 2x, \sin 2x,...,\cos nx, \sin nx,...$

在區間$[-\pi,\pi]$上正交，即：

$\begin &\int_^\cos nxdx = 0 \;(n=1,2,3,...)\\ &\int_^\sin nxdx = 0 \;(n=1,2,3,...)\\&\int_^\sin kx\cos nx dx = 0 \; (k,n=1,2,3,...)\\&\int_^\cos kx\cos nx dx = 0 \;(k,n=1,2,3,...,k\ne n)\\&\int_^\sin kx\sin nx dx = 0 \;(k,n=1,2,3,...,k\ne n) \end$

證明第3項：

$\displaystyle \int_^\sin kx \cos nx dx= \int_^\frac[\sin (k-n)x + sin(k+n)x]dx$

因為$\displaystyle \int_^\sin ax dx$

$a=0$時積分為$0$，$a\ne 0$時：

$\displaystyle \int_^\sin ax dx=\left.-\frac\cos ax\right|_^=0$

因此第三項為$0$，得證。

設$f(x)$是週期為$2\pi$，且可積分的週期函式，函式可展開為：

$\displaystyle f(x) = \frac+\sum\limits_^(a_k\cos kx+b_k\sin kx dx)$

先求$a_0$，對等式兩邊積分：

$\displaystyle \int_^f(x)dx = \int_^\frac+\sum\limits_^(a_k\cos kx+b_k\sin kx dx)dx$

由正交性可得：

$\displaystyle a_0 = \frac\int_^f(x)dx$

再求$a_n$，等式兩端乘$\cos nx$，再積分：

$\displaystyle \int_^f(x)\cos nxdx = \frac\int_^\cos nxdx+\sum\limits_^\left[a_k\int_^ \cos kx\cos nxdx+b_k\int_^ \sin kx\cos nxdx\right]$

由正交性得：

$\displaystyle \int_^f(x)\cos nxdx =a_n\int_^ \cos^2 nxdx=a_n\pi$

於是：$\displaystyle a_n=\frac\int_^f(x)\cos nxdx \;(n=1,2,3,...)$

類似地，兩端乘$\sin nx$，再積分得：

$\displaystyle b_n = \frac \int_^f(x)\sin nxdx\;(n=1,2,3,...)$

$a_n,b_n$是通過積分算出來的，當然能滿足新增了積分運算的上述級數的等式。但是如果沒有積分運算，等式一定能成立嗎？或者說級數一定會收斂到原函式嗎？$f(x)$要滿足所謂「收斂定理」，級數才能收斂：

設$f(x)$是週期為$2\pi$的週期的函式，如果它滿足：

(1)在乙個週期內連續或只有有限個第一類間斷點。

(2)在乙個週期內至多只有有限個極值點。

則$f(x)$的傅利葉級數收斂，並且當$x$是$f(x)$的連續點時，級數收斂於$f(x)$；當x是$f(x)$的間斷點時，級數收斂於$\frac[f(x^-)+f(x^+)]$。

傅利葉級數

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