@(微積分)
–總結自課本基礎知識
三角函式與正交性
特別注意三角函式系1,
cosx
,sin
x,co
s2x,
sin2
x,..
,cos
nx,s
innx
,...
在區間[−
π,π]
上正交，指的是該函式系中任何兩個不用的函式積在[−
π,π]
上的積分為0.
這是乙個很奇妙的特性，特別驗證一下。
給定的是對稱區間，因此，如果被積函式是奇函式，則馬上可以斷定積分為0，比如sinnx。那麼為什麼偶函式cosx積分也為0呢？畫圖可以看出來在[−
π,0]
和[0,
π]上的積分均為0，是分別關於點(−
π2,0
),(0
,π2)
對稱的。∫π
−πco
snxd
x=0,
∫π−π
sinn
xdx=
0,n=
0,1,
2,3...∫π
−πco
snxs
inmx
dx=0
,m,n
=0,1
,2,.
..∫π
−πco
snxc
osmx
dx=∫
π−πs
innx
sinm
xdx=
0,n,
m=0,
1,2,
...
由此鋪墊開來，得到傅利葉級數。
傅利葉級數an
=1π∫
π−πf
(x)c
osnx
dx,n
=0,1
,2,.
..
bn=1
π∫π−
πf(x
)sin
nxdx
,n=1
,2,3...
特別注意a0
的存在。an
,bn 是f(
x)的傅利葉係數。
級數是這樣定義的： 以f
(x) 的傅利葉係數為係數的三角級數a0
2+∑∞
n=1(
anco
snx+
bnsi
nnx)
叫f(x
) 的傅利葉級數。
記作：f(x
)∼a0
2+∑∞
n=1(
anco
snx+
bnsi
nnx)
狄利克雷收斂定理設f
(x) 是週期2π
的函式，且在[−
π,π]
上滿足： 則
f(x)
的傅利葉級數在[−
π,π]
上收斂，且收斂於：
週期為2
π 的函式的傅利葉展開
分成兩個步驟：
具體展開:
1）在[−π
,π] 普通展開：an
=1π∫
π−πf
(x)c
osnx
dx=0
,n=0
,1,2
,...
bn=1π∫
π−πf
(x)s
innx
dx=0
,n=1
,2,3...
2）f(x
) 是奇函式：an
=0,n
=0,1
,2,.
..
bn=2
π∫π0
f(x)
sinn
xdx,
n=1,
2,3...
3）f(x
) 是偶函式：an
=2π∫
π0f(
x)co
snxd
x,n=
0,1,
2,..
. b
n=0,
n=1,
2,3...
在[0,
π]上可以展開為正弦級數或者余弦級數。
即：i) 通過延拓，f(
x)變成奇函式，則展開式是正弦級數：an
=0,n
=0,1
,2,.
..
bn=2
π∫π0
f(x)
sinn
xdx,
n=1,
2,3...
ii) 通過延拓，f(
x)變成偶函式，則展開式是余弦級數：an
=2π∫
π0f(
x)co
snxd
x,n=
0,1,
2,..
. b
n=0,
n=1,
2,3...
這是自己的選擇，也是根據題目要求做決定。
廣義化的話，可以將l=
π 視作上面的特例，遷移即可。
即區間變為[−
l,l]
傅利葉級數
如上圖所示，傅利葉級數的思想是把乙個週期函式 分解成一系列的三角函式 f t a 0 n 1 a nsin n t 其中原函式f t 的週期t 2 應該說，傅利葉是個天才，能夠想到用無數個三角函式來表示任意的週期函式。但傅利葉認為，式子右邊一大堆的函式，其實都是最簡單的正弦函式，有利於後續的分析和計...
傅利葉級數
傅利葉 fourier 級數是三角級數 每項都是三角函式 的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函式項之積在 pi,pi 上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的乙個正交系。傅利葉級數可以擬合很多週期函式。三角函式系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin n...
傅利葉級數
傅利葉 fourier 級數是三角級數 每項都是三角函式 的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函式項之積在 pi,pi 上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的乙個正交系。傅利葉級數可以擬合很多週期函式。三角函式系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin n...