一：指數形式
給定乙個週期為t的函式f(t)，那麼它可以表示為無窮級數：
f(t)=∑k=-∞
+∞ak*eik(2∏/t)t（i為虛數單位）（1）
ak=(1/∏)∫0
2∏f(t)*e-ik(2∏/t)tdt
二：正弦形式
1：在物理學中,我們已經知道最簡單的波是諧波(正弦波), 它是形如asin(ωt+φ) 的波,其中 a是振幅, ω是角頻率, φ是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一 系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設 f(t)是乙個週期為t 的波,在一定條件下可以把它寫成
f(t)=a0+∑n=1
+∞ansin(nωt+φ) =a0+∑n=1
+∞ancos(nωt)+bnsin(nωt)
（根據sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)
其中ansin(nωt+φ)=ancos(nωt)+bnsin(nωt) 是n階諧波,
我們稱上式右端的級數是由f(t) 所確定的傅利葉級數
2：三角函式正交性
設 c是任意實數, 是長度為[c,c+2∏] 的區間,由於三 角函式 是週期為2∏ 的函式,經過簡單計算, 有
利用積化和差的三角公式容易證明
還有
我們考察三角函式系
其中每乙個函式在長為 的區間上定義，其中任何 兩個不同的函式乘積沿區間上的積分等零 ， 而每個函式自身平方的積分非零 。我們稱這個 函式繫在長為 的區間上具有正交性。
三：傅利葉級數
設函式f(x)已展開為全區間設的一致收斂的三角級數f(x)=(a0/2)+σk=1
+∞akcos(kx)+bksin(kx),現在利用三角函式係數的正交性來研究係數a0,ak,bk (k=1,2....n)與f(x) 的關係。將上述展開式沿區間[-π,+π]積分，右邊級數可以逐項積分，由(1)得到
又設n是任一正整數，對f(x)的展開式兩邊乘以cos(nx)沿[-π,+π]積分，由假定，右邊可以逐項積分，由(1)和(2)(3) ，得到
即：
同樣可得：
因此得到尤拉-傅利葉公式：
自然，這些係數也可以 沿別的長度為 的區間來積 分。
以上是在f(x) 已展開為一致收斂的三角級數的假定下得到係數的表示式的。然而從尤拉-傅利葉公式的形式上看，只要週期為2π的函式f(x)在區間[-π,+π]上可積和絕對可積（如果f(x)是有界函式，則假定它是可積的。這時它一定是絕對可積的；如果f(x)是無界函式，就假定他是絕對可積，因而也是可積的，這樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對可積了），就可以按尤拉-傅利葉公式來確定所有的數 ，從而作出三角級數
我們稱這級數是f(x)關於三角函式系
的傅利葉級數，而ak,bk稱為f(x)的傅利葉係數，記為
傅利葉級數
微積分 總結自課本基礎知識 三角函式與正交性 特別注意三角函式系1,cosx sin x,co s2x,sin2 x,cos nx,s innx 在區間 上正交，指的是該函式系中任何兩個不用的函式積在 上的積分為0.這是乙個很奇妙的特性，特別驗證一下。給定的是對稱區間，因此，如果被積函式是奇函式，則...
傅利葉級數
如上圖所示，傅利葉級數的思想是把乙個週期函式 分解成一系列的三角函式 f t a 0 n 1 a nsin n t 其中原函式f t 的週期t 2 應該說，傅利葉是個天才，能夠想到用無數個三角函式來表示任意的週期函式。但傅利葉認為，式子右邊一大堆的函式，其實都是最簡單的正弦函式，有利於後續的分析和計...
傅利葉級數
傅利葉 fourier 級數是三角級數 每項都是三角函式 的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函式項之積在 pi,pi 上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的乙個正交系。傅利葉級數可以擬合很多週期函式。三角函式系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin n...