開的這個坑大概就是寫寫從另乙個視角來看快速離散傅利葉變換fft。oi當中常見的fft的推導方法是從多項式乘法出發，作為多項式乘法的優化演算法出現，關於多項式的相關理論詳見miskcoo大佬的blog從多項式乘法到快速傅利葉變換 - miskcoo's space，寫的十分詳細。
在這個專題下，將會依次講解傅利葉級數fs，傅利葉變換ft，離散時間傅利葉變換dtft，離散傅利葉變換dft。主要是參考wys在wc2018上講課的課件。
傅利葉級數的基礎是三角函式系
現定義兩個實函式
前兩個式子顯然成立，後三個式子的推導主要是利用積化和差公式，在這裡給出最後乙個式子的推導過程。
由此可以得到三角函式系
在上同樣正交。
傅利葉級數表示為
其中需要求出的是展開後的係數
。首先考慮最為特殊的
對上式兩側同時從
到積分，可以由三角函式系的正交性發現求和號內的項均為0，
因而得到
求出。然後要求的是除
外的其餘係數
。先求在等號兩側同乘
再同時從
到積分，同樣是由三角函式的正交性，可以得到等號右側除了
不為0外，其餘項皆等於0。
於是便有
計算得。 對於
也是採取類似的方法，得
。同樣滿足
的等式，這便是傅利葉級數當中寫成
而非的目的所在。因而可以將所有情況綜合起來寫為
。與其它的級數展開相同，傅利葉級數同樣需要判斷收斂性，若級數不收斂於
則不能在兩者之間畫等號。關於傅利葉級數的收斂性目前沒有它的充分必要條件，只有一些可以用來判斷收斂的充分不必要條件。其中最常用的為狄利克雷條件
對於乙個週期為狄利克雷條件只是傅利葉級數收斂的充分條件，而非必要條件，級數收斂不代表該條件成立。的函式如果它滿足：
（1）在乙個週期內連續或只有有限個第一類間斷點；
（2）在乙個週期內只有有限個極值點。
那麼的傅利葉級數收斂於
。
由以上推導，我們便可以寫出乙個週期函式的傅利葉級數。
例如週期為
的函式在上求
的傅利葉級數。
狄利克雷條件顯然成立，所以
。通過觀察傅利葉級數的形式，不難發現它的每一項與尤拉公式的形式十分相似，可以通過代數變形來使用復指數表示傅利葉級數。
令表示虛數單位，傅利葉級數的指數形式為
其中指數形式與三角形式是相等的，推導如下
關於傅利葉級數的幾何意義，可以模擬向量基底的概念。在歐幾里得空間當中，可以通過選取一組正交基，使得空間內的所有向量都可以由這組正交基線性表出。
傅利葉級數是利用三角函式系的正交性，通過這樣一組正交基張成了函式空間，將這個函式空間當中的函式全部表示為三角函式的線性組合。
考慮傅利葉級數的係數
令則係數可以寫作
。正如向量空間當中基底分解的係數為
其中基向量，傅利葉級數所做的就是將函式
投影到三角函式系這樣一組正交基上，通過這組基線性表出
。如果將
看作是乙個週期訊號，則傅利葉級數將
分解到各個頻率的正余弦波之上。 例如
表示如下訊號
傅利葉級數將其分解為以下四種訊號
傅利葉級數的侷限性在於其只適用於週期函式 ，對於非週期函式我們需要更為強大的工具，通過對傅利葉級數的推廣將會得到適用範圍更加廣泛的傅利葉變換。
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