概述：傅利葉級數，起初是用來解決如何求解微分方程的問題的。學過高數的應該都知道，對於非齊次微分方程的求解，如果輸入是指數冪，sin或者cos系列，就可以先求其其次微分方程的通解，然後通過公式求出特解。如果是其他的函式，就很難解決。傅利葉級數就是將所有的週期函式轉化為sin和cos的乘積。這篇部落格就是講解傅利葉級數的推導。主要觀點來自於網易麻省理工公開課。
乙個以t
為週期的實函式ft
(t)，如果在[−
t2,t
2]上滿足狄利克雷條件：
（1）連續或只有有限個第一類間斷點
（2）只有有限個極值點 則f
t(t)
=a02
+∑n=
12(a
ncos
nwt+
bnsi
nnwt
) 其中：w=2
πt,a
n=2t
∫t2−
t2ft
(t)c
osnw
tdt(
n=0,
1,2,
…)bn
=2t∫
t2−t
2ft(
t)si
nnwt
dt(n
=1,2
,…)
簡化一下：假設t=
2π，則要證明的式子為：w=
1,an
=1π∫
π−πf
t(t)
cosn
tdt(
n=0,
1,2,
…),b
n=1π
∫π−π
ft(t
)sin
ntdt
(n=1
,2,…
) u(
t),v
(t) ，如果： ∫π
−πu(
t)v(
t)=0
叫做正交的原因是因為，上式所求的就是兩個函式的內積，與向量正交挺像的。而且目前，函式正交應用也很廣泛。下面將要證明：對於所有的{s
innt
,cos
mt,n
=(1,
2,3,
…)m=
(0,1
,2,3
,…)
這個函式集合中的任意兩個函式，都滿足正交性。
求解過程： f(
t)=c
0+∑n
=0∞(
anco
snt+
bnsi
nnt)
如果我們將兩邊都乘上co
snt ,並求積分，則： ∫π
−πf(
t)co
sntd
t=∫π
−π(c
0+∑n
=0∞(
anco
snt+
bnsi
nnt)
)cos
ntdt
當將右邊的式子展開後，就是： ∫π
−πf(
t)co
sntd
t=∫π
−πc0
cosn
tdt+
⋯+∫π
−πan
cos2
ntdt
+∫π−
πbns
innt
cosn
tdt+
… 由上面的正交性證明可以知道：等式右邊除了∫π
−πan
cos2
ntdt
其餘各項均為；
則等式可以化解為： ∫π
−πf(
t)co
sntd
t=∫π
−πan
cos2
ntdt
而∫π−πco
s2nt
dt=π
故可以求出an
的值，相同的bn
是同樣的方法。
傅利葉級數
微積分 總結自課本基礎知識 三角函式與正交性 特別注意三角函式系1,cosx sin x,co s2x,sin2 x,cos nx,s innx 在區間 上正交，指的是該函式系中任何兩個不用的函式積在 上的積分為0.這是乙個很奇妙的特性，特別驗證一下。給定的是對稱區間，因此，如果被積函式是奇函式，則...
傅利葉級數
如上圖所示，傅利葉級數的思想是把乙個週期函式 分解成一系列的三角函式 f t a 0 n 1 a nsin n t 其中原函式f t 的週期t 2 應該說，傅利葉是個天才，能夠想到用無數個三角函式來表示任意的週期函式。但傅利葉認為，式子右邊一大堆的函式，其實都是最簡單的正弦函式，有利於後續的分析和計...
傅利葉級數
傅利葉 fourier 級數是三角級數 每項都是三角函式 的一種。因為項數無限，且其中任意兩個不同函式項之積在 pi,pi 上的積分為0，所以可以作為希爾伯特空間的乙個正交系。傅利葉級數可以擬合很多週期函式。三角函式系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin n...