在計算機上程式設計做訊號處理時，我們通常用的是fft, 但是開始學訊號處理時，一般是從fs開始的。所以這裡整理一下從fs到fft「演變」的過程。以下是傅利葉「家族」的一些名稱:
fs(fourier series) 連續時間週期訊號的傅利葉級數
ft(fourier transform) 連續時間非週期訊號的傅利葉變換
dtft(discrete time fourier transform) 離散時間傅利葉變換
dfs(discrete fourier series) 離散傅利葉級數
dft(discrete fourier transform) 離散傅利葉變換
fft(fast fourier transform) 快速傅利葉變換
首先，要從fs說起的。假設有乙個正弦訊號sin(w0t)，那麼在頻域它是什麼呢？就是在w0處有一條豎線！如果有乙個訊號是sin(w0t)+sin(w1t)，那麼在頻域，它是兩條豎線(w0處和w1處)。如果是更為複雜的週期訊號，那麼相應得，在頻域有好多條豎線!(好像說了一堆廢話)。不過，我們可以通過這些豎線，知道這個複雜的週期訊號的成分，也可以通過抹掉一些頻率的方法改變週期訊號的成分(濾波)。總之，fs給我們提供了一種方法，使我們可以用來分析連續時間週期訊號的成分。需要提一下，在時間上連續的週期訊號，在頻域是離散的！
但是，在實際中，大部分訊號是非週期的，於是就ft就到來了。如何將週期訊號推廣到非週期訊號呢？高人們是這麼做的：先假設這個訊號是週期的，週期為t，於是可以得到該週期訊號的fs, 然後領t->無窮大，這時，相應的fs就變成了ft。具體在頻域上的反映是，原本有間隔的豎條在t->無窮大時連在了一起，在頻域變成了連續的！所以在時間上的非週期訊號，在頻域上是連續的!
如果我們對乙個週期訊號x(t)抽取它的乙個週期xt(t)做ft， 那麼頻域是連續的，而該原始訊號x(t)在頻域(fs)的那些豎條相當於是對ft的取樣. x(t)的週期越小，豎條的間隔越寬，x(t)的週期越大，豎條的間隔越窄，如果x(t)的週期是無窮大，那麼這時豎條的間隔就趨於0了，也就是頻域的波形連在了一起，fs變成了ft。
什麼？為什麼x(t)週期越小，豎條的間隔越寬？因為豎條的間隔其實就是週期訊號的基頻，週期t越小，基頻越大，所以豎條的間隔就越寬。
好了，連續時間的說完了，但是對我們來說並沒有什麼卵用，因為我們計算機中的資料是離散的x[n]，根本不是x(t)。所以，接下來說的就是離散時間的傅利葉級數dfs。
正如連續週期訊號x(t)可以用一系列正弦波疊加來表示(這裡只考慮收斂的情況)，離散週期訊號x[n]也可以用一系列「正弦序列」疊加來表示。那麼在頻域，這一系列「正弦序列」就對應了一堆豎線。每個豎線的高低就反應了原始序列x[n]中該頻率成分的強弱。這就是dfs，時域的訊號x[n]，在頻域是一堆豎線，如果我們想去掉乙個頻率成分，在頻域把這條豎線抹掉就好了，然後反變換回去。這時的時域序列y[n]就沒有該頻率的成分了，過程如下:
時域x[n]-->計算dfs頻域係數-->頻域x[w]-->去掉某些頻率成分(讓對應係數為0)-->頻域y[w]-->從頻域係數回到時域-->時域y[n]
很好！但是，現實很殘酷，這是不可能的！
因為，既然x[n]是週期的，那麼在時域就是無限的，從古至今一直存在的，真的有這樣的訊號嗎？我不知道。當然，你可以造乙個n點的訊號x1[n]，並且想當然認為這個訊號是週期的，(n為週期，也就是x[n]=x1[n+kn])，這時，你認為你造的訊號x1[n]就是週期訊號x[n]的乙個週期。因為dfs計算過程只需要乙個週期，所以你可以按上述處理過程從x1[n]得到y1[n]，也就是在你的想象中從x[n]的到了y[n]。當然，這樣做在實際中是完全沒用的，因為實際中我們處理的訊號肯定是非週期的。於是，dtft出場了。
因為我們實際中處理的訊號是非週期的，就需要得到這種非週期的離散訊號的頻域表示，然後進一步處理。正如連續時間訊號由週期變為非週期的處理一樣，我們可以先把非週期離散時間序列x[n]當成是週期為n的訊號x'[n]的乙個週期，然後領n->無窮大。這樣，就得到了非週期離散訊號的頻域表示，這就是dtft。
但是，很不幸的是，正如連續時間非週期訊號一樣，它在頻域上是連續的！我們在計算機上怎麼表示這個連續的頻域？回想一下，我們的離散時間訊號是**來的？好像也是從連續時間訊號來的。怎麼來的呢？取樣！對了，我們可以對頻域也進行取樣！這樣，連續的頻譜被我們取樣成了離散頻點的頻譜。時域的取樣間隔相對於取樣週期，由奈奎斯特定律給出，那麼頻域的取樣間隔該選多少呢？高人們說了，為了恢復n點的離散時間間隔，頻率的取樣點在乙個週期內(離散時間訊號的頻域是週期的)也應該是n!那麼取樣間隔就是2π/n！這樣，我們就可以由n點的輸入序列x[n]得到它的頻域表示: n點的x[k], 其中k=0,1,...,n-1.分別對應頻間隔為2π/n的n個頻率，這樣就可以在計算機中處理了。這就是dft。
fft是為了速度而生的，正如它的名字一樣。為了計算更快，高人們對dft的計算方法進行了改進，就是fft。我們在計算機世界使用的也是fft。
所以fs到fft的演變，其實就是理論分析到實際應用的演變。
以下是一些相關的公式:
fs:
ft:dfs:
dtft:
dft:
從傅利葉級數到傅利葉轉換公式
1 考慮到乙個函式可以展開成乙個多項式的和，可惜多項式並不能直觀的表示週期函式，由於正余弦函式是週期函式，可以考慮任意乙個週期函式能否表示成為一系列正余弦函式的和。假設可以，不失一般性，於是得到 f t a 0 n 1 a nsin n t n 2 將後面的正弦函式展開 an sin n t n a...
傅利葉級數
微積分 總結自課本基礎知識 三角函式與正交性 特別注意三角函式系1,cosx sin x,co s2x,sin2 x,cos nx,s innx 在區間 上正交，指的是該函式系中任何兩個不用的函式積在 上的積分為0.這是乙個很奇妙的特性，特別驗證一下。給定的是對稱區間，因此，如果被積函式是奇函式，則...
傅利葉級數
如上圖所示，傅利葉級數的思想是把乙個週期函式 分解成一系列的三角函式 f t a 0 n 1 a nsin n t 其中原函式f t 的週期t 2 應該說，傅利葉是個天才，能夠想到用無數個三角函式來表示任意的週期函式。但傅利葉認為，式子右邊一大堆的函式，其實都是最簡單的正弦函式，有利於後續的分析和計...