積性函式和狄利克雷卷積小結

1、積性函式：對於函式$f(n)$，若滿足對任意互質的數字a,b，a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$，那麼稱函式f為積性函式。顯然f(1)=1。

2、狄利克雷卷積：對於函式f,g,定義它們的卷積為$(f*g)(n)=\sum_f(d)g(\frac)$。

3、兩個積性函式的狄利克雷卷積仍為積性函式。

證明：設f,g的狄利克雷卷積為h，即$h(n)=\sum_f(d)g(\frac)$,設n=a*b,a或b為1時顯然成立，下面證明a和b均不為1

設$n=p_^}p_^}...p_^},a=p_^}p_^}...p_^},b=p_^}p_^}...p_^}$

其中$m\geq 2,1\leq k\leq m-1$

$h(n)=\sum_f(d)g(\frac)$

$h(a)=\sum_f(d1)g(\frac)$

$h(b)=\sum_f(d2)g(\frac)$

首先h(n)等號右側有$\prod_^(\alpha _+1)$項，h(a)等號右側有$\prod_^(\alpha _+1)$項,h(b)等號右側有$\prod_^(\alpha _+1)$項,，所以h(n)和h(a)h(b)的項數是一樣的。

其次，對於h(n)右側的每一項，設某一項為f(x)g(y)，

$x=p_^}p_^}...p_^}$,

$y=p_^}p_^}...p_^}$,

一定存在$x=p_^+\gamma _}p_^+\gamma _}...p_^+\gamma _}$,$y=p_^+\gamma _}p_^+\gamma _}...p_^+\gamma _}$，使得f(x)是h(a)右側的項，g(y)是h(b)右側的項，由於f,g都是積性函式，那麼f(x)g(y)=f(x)g(y)。

因此，h(n)=h(a)h(b)。

4、尤拉函式是積性函式。

設$n=p_^}p_^}...p_^},a=p_^}p_^}...p_^},b=p_^}p_^}...p_^}$,

那麼$\varphi (n)=n\prod_^(1-\frac})$,

$\varphi (a)=a\prod_^(1-\frac})$,

$\varphi (b)=b\prod_^(1-\frac})$,

由於n=ab，顯然$\varphi (n)=\varphi (a)\varphi (b)$

5、莫比烏斯函式($\mu$)是積性函式。由莫比烏斯函式的定義，分1，-1，0討論就好。

6、莫比烏斯反演：對於函式f(n)和f(n)，若$f(n)=\sum_f(d)$，那麼$f(n)=\sum_\mu (d)f(\frac)$。

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1 積性函式 對於函式 f n 若滿足對任意互質的數字a,b，a b n且 f n f a f b 那麼稱函式f為積性函式。顯然f 1 1。2 狄利克雷卷積 對於函式f,g,定義它們的卷積為 f g n sum f d g frac 3 兩個積性函式的狄利克雷卷積仍為積性函式。證明 設f,g的狄利克...

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