第乙個推廣： 在生成樹計數問題中，其實我們做了這樣乙個假設，就是每條邊的權值是1。我們再來看下這個公式
對於關聯矩陣b來說（對於乙個n個頂點m條邊的無向圖g，它的關聯矩陣b是乙個n*m的矩陣。對於第i條邊e[i]=(u,v)，那麼b[u][i]和b[v][i]中乙個是1，乙個是-1，第i列其他值為0），我們可以這樣看，對於頂點(u,v) 之間若有邊 e[x]=(u,v)，那麼b[u][x]=1,b[v][x]=-1,x列其他值為0。那麼，現在我們設邊(u,v)的權值為w（我們這裡認為w非負，沒有邊的時候w=0），那麼其實b滿足下面的式子
那麼按照這個樣子，$det(c_)$它計算出的是
其中
最後對於
也能構造出乙個上三角矩陣，對角線分別是到它父節點的邊的權值。
第二個推廣：我們來求帶權無向圖的最小生成樹的個數。如果圖的權值都是相同的，那麼直接使用matrix-tree定理計算即可。對於不是這樣情況的，我們可以這樣解決。首先將邊權公升序排序，這樣權值相等的邊就排到了一起。然後，相等權值的邊劃分為一組。我們按照組一組一組處理。
在這裡有這樣乙個性質，設在某一種最小生成樹中邊權為w的邊使用了x條，那麼在所有型別的最小生成樹中，邊權為w的邊都必然使用了x條，並且這x條邊加上之前權值小於w的邊中選出的一些邊加入後圖的聯通狀態不變。首先我們來證明聯通狀態不變。首先，我們假設在權值為w的邊處理之前，處理完權值小於w的邊之後，形成的聯通塊數為c1，加入權值為w的x條邊之後聯通塊數為c2，顯然c2=c1-x。那麼不管權值為w的邊你選多少條如何選，之後聯通塊數都不會比c2更小了，要是更小，說明我們c2求錯了。要是比c2大，那麼這不是最優的情況，因為對於某兩個未聯通的塊，現在讓他倆聯通一定比之後讓他倆聯通優，因為後面的權值越來越大。接著我們證明，使用的邊的數量一定是x，這也很顯然，c1,c2都是固定的，聯通塊數減少了c1-c2，所以一定用了這麼多邊，不能多也不能少。
有了這個性質，我們對於每個階段，我們將這個階段之前的聯通到一起的點看做乙個點，那麼權值為w的所有邊加入後，就成了一些聯通塊，每個聯通塊內邊的權值都一樣，所以可以使用matrix-tree 定理搞一次，所有的聯通塊的乘起來即可。而每個階段是獨立的，乘起來就是最後答案。
生成樹計數問題
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