NOI2014 魔法森林

為了得到書法大家的真傳，小 e 同學下定決心去拜訪住在魔法森林中的隱士。魔法森林可以被看成乙個包含 n 個節點 m 條邊的無向圖，節點標號為 1,2,3,…,n，邊標號為 1,2,3,…,m。初始時小 e 同學在 1 號節點，隱士則住在 n 號節點。小 e 需要通過這一片魔法森林，才能夠拜訪到隱士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每當有人經過一條邊的時候，這條邊上的妖怪就會對其發起攻擊。幸運的是，在 1 號節點住著兩種守護精靈：a 型守護精靈與 b 型守護精靈。小 e 可以借助它們的力量，達到自己的目的。

只要小 e 帶上足夠多的守護精靈，妖怪們就不會發起攻擊了。具體來說，無向圖中的每一條邊 ei 包含兩個權值 ai 與 bi 。若身上攜帶的 a 型守護精靈個數不少於 ai ，且 b 型守護精靈個數不少於 bi ，這條邊上的妖怪就不會對通過這條邊的人發起攻擊。當且僅當通過這片魔法森林的過程中沒有任意一條邊的妖怪向小 e 發起攻擊，他才能成功找到隱士。

由於攜帶守護精靈是一件非常麻煩的事，小 e 想要知道，要能夠成功拜訪到隱士，最少需要攜帶守護精靈的總個數。守護精靈的總個數為 a 型守護精靈的個數與 b 型守護精靈的個數之和。

輸入格式：

輸入檔案的第 1 行包含兩個整數 n,m，表示無向圖共有 n 個節點，m 條邊。接下來 m 行，第i+ 1 行包含 4 個正整數 xi,yi,ai,bi，描述第i條無向邊。其中xi與 yi為該邊兩個端點的標號，ai 與 bi 的含義如題所述。注意資料中可能包含重邊與自環。

輸出格式：

輸出一行乙個整數：如果小 e 可以成功拜訪到隱士，輸出小 e 最少需要攜帶的守護精靈的總個數；如果無論如何小 e 都無法拜訪到隱士，輸出「-1」（不含引號）。

輸入樣例#1：複製

4 5

1 2 19 1

2 3 8 12

2 4 12 15

1 3 17 8

3 4 1 17

輸出樣例#1：複製

輸入樣例#2：複製

3 1

1 2 1 1

輸出樣例#2：複製

-1

如果小 e 走路徑 1→2→4，需要攜帶 19+15=34 個守護精靈；如果小 e 走路徑 1→3→4，需要攜帶 17+17=34 個守護精靈；如果小 e 走路徑 1→2→3→4，需要攜帶 19+17=36 個守護精靈；如果小 e 走路徑 1→3→2→4，需要攜帶 17+15=32 個守護精靈。綜上所述，小 e 最少需要攜帶 32 個守護精靈。

每條邊有兩個權值，合在一起維護十分不便，考慮將它們分開。

將所有邊按權值a從小到大排序，每一次加入一條邊，找一下1～n的所有路徑中權值b的最大值的最小值，然後用amax+bmax更新答案。

為什麼這樣做是對的呢，如果bmax所在的路徑並不是amax所在的路徑，那麼我們在放入amax之前，bmax就已經和乙個比amax要小的權值更新了答案，所以更優解已經被計算在內了。

然後每次spfa不需要memset，直接將當前加入的邊的兩端點入隊就好。

這道題沒有設計卡spfa的資料，所以spfa可以水過去。

1
//never forget why you start
2 #include3 #include4 #include5 #include6 #include7 #include8 #include9
#define inf (2000000000)
10using
namespace
std;
11int n,m,ans=inf;
12 queuemem;
13struct
edgee[100005
];16
struct
nodeedge[200005
];19
int head[50005
],size;
20void putin(int
from,int to,int dis1,int
dis2)
28int dist[50005
];29
bool cmp(const edge a,const
edge b)
32int vis[50005
];33
void spfa(int x,int
y)48}49
}50}51
}52intmain()
67if(ans==707406379)printf("
-1\n");
68else printf("
%d\n
",ans);
69return0;
70 }

但是spfa的複雜度是無法保證的，如果考場上要穩過的話就需要乙個複雜度更加穩定的演算法。

這題的正解是lct，思維難度還是很高的，首先我們將邊化為點，如果一條邊連線x和y兩個點，我們可以認為是乙個點分別和x，y兩點相連。這樣我們就可以將權值資訊放到中間那個點中。

然後還是考慮排序，先按權值a排序，從小到大加邊，每次加一條邊，就相當於是link一下x，再link一下y。

每次判斷1和n是否聯通，如果聯通，就找路徑上的最大值更新答案就好。

如果我們在連線的時候發現x和y是聯通的，如果我們直接聯通就會產生環，那麼我們考慮將這個環上最大的邊刪掉，因為乙個環上最大的邊是沒有存在的意義的。（當我們要經過這條最大的邊的時候，我們可以從環的另外一邊繞過去）

注意：我們要刪掉的是這個環上最大的邊，所以如果新加入的邊的權值比原路徑的最大值還要大，我們就沒有必要加入了。（在這裡被坑了好久）

1
//never forget why you start
2 #include3 #include4 #include5 #include6 #include7 #include8
#define ll(x) lct[x].child[0]
9#define rr(x) lct[x].child[1]
10#define son(x,t) lct[x].child[t]
11#define inf (2147483647)
12using
namespace
std;
13int n,m,ans=inf;
14int
read()
17while(i>='
0'&&i<='9')
18return ans*f;19}
20struct
edge
25 }e[100005
];26
struct
lctlct[200005
];30
void push_up(int
x)37
void push_rev(int
x)42
void push_down(int
x)48}49
void push(int
x)53
int getson(int
x)56
void rotate(int
x)67
void splay(int
x)73
void access(int
x)while
(x);82}
83void mroot(int
x)88
void link(int u,int
v)92
void cut(int u,int
v)100
struct
fa107
int find(int
x)111
void merge(int x,int
y)117
}118
bool judge(int x,int
y)122
}fa;
123int ppos[200005
];124
intmain()
134for(i=1;i<=m;i++)
140   sort(e+1,e+m+1
);141
for(i=1;i<=m;i++)ppos[e[i].id]=i;
142for(i=1;i<=m;i++)
156}
157if(flag||!fa.judge(u,v))
163if(fa.judge(1
,n))
169}
170if(ans==inf)printf("
-1\n");
171else printf("
%d\n
",ans);
172return0;
173 }

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