\(hall\) 定理是二分圖匹配的相關定理
用於判斷二分圖是否存在完美匹配
存在完美匹配的二分圖即滿足最大匹配數為 \(min(|x|,|y|)\) 的二分圖,也就是至少有一邊的點全部被匹配到了
設 \(m(u)\) 為與 \(u\) 中的點相連的點集，乙個二分圖 \(u,v(|u|<=|v|)\) 存在完美匹配，滿足對於任意點集 \(x∈u\) 都有 \(|m(x)|>=|x|\)
連出去的邊數都不足點數,那麼顯然不能構成完美匹配
假如存在乙個滿足 \(hall\) 定理的二分圖 , 且不滿足完美匹配
那麼假設兩邊都存在乙個未匹配的點 , 由於滿足 \(hall\) 定理 , 這個沒有被匹配的點肯定有一條沒有被匹配的邊
那麼假設這條邊對面的點被匹配過了 , 這個點和那個未匹配的點組成 \(|x|\) 後, 這個點又一定連向了除它匹配的點外的至少乙個點
這樣下去就一定可以找到這條增廣路了 , 所以一定是可以滿足完美匹配的
Hall定理 獎章
n nn個人上工，第i ii個人連續工作a ia i ai 天，休息a ia i ai 天 每天可以給乙個上工的人發獎章，求給每個人發k kk個獎章需要的最少天數 大家看到這道題第一反應就去lcm了 結果這道題二分圖qwq 複製k kk份工人，每個點與所有能上工的天匹配 如果有完美匹配，則這個天數合...
Hall定理小記
hall定理 一張二分圖有完美匹配 即最大匹配為 min 當且僅當任意乙個點集 x 所有能直接到達的點集 y 所組成的匯出子圖有完美匹配 推論 一張二分圖的最大匹配為 min y 有 n 個班級 n leq 2 times 10 5 每個班級有 a i 名學生，該班共生產 b i 杯奶茶，每個學生只...
bzoj3693 圓桌會議（Hall定理 線段樹）
題解 傳送門 要求任意子集均滿足，我們考慮對於每乙個區間 p,q 顯然只有q ri時這個區間才有詢問的意義，同時我們也有p lj 所有 l,r 在 p,q 之內的a的和s應滿足s q p 1即s p 1 q,否則一定不滿足hall定理。於是我們把所有的區間按r公升序排列，考慮列舉q，維護p lj時的...